ಮೂಲ ಸಂಬಂಧಗಳು ಮೂಲ ಸಂಬಂಧಗಳು(Fundamental identities): ಈ ಹಿಂದೆ ಕಲಿತಂತೆ: sin ಅಭಿಮುಖ ಬಾಹು/ವಿಕರ್ಣ PQ/OP; Cosec =1/sin ; OP/PQ cos ಪಾರ್ಶ್ವ ಬಾಹು/ವಿಕರ್ಣ OQ/OP; sec = 1/cos ; OP/OQ tan ಅಭಿಮುಖ ಬಾಹು/ಪಾರ್ಶ್ವ ಬಾಹು = sin / cos PQ/OQ; cot = 1/tan ; OQ/PQ ಪೈಥಾಗೊರಸ್ ಪ್ರಮೇಯದಂತೆ PQ2 + OQ2 = OP2 -----à(1) PQ2/OP2 + OQ2/OP2 = 1(ಎರಡೂ ಕಡೆ OP2 ನಿಂದ ಭಾಗಿಸಿದೆ) (PQ/OP)2 + (OQ/OP)2 = 1 (sin )2 + (cos )2 = 1 sin2 + cos2 = 1 ----------(I) ಸಮೀಕರಣ (1) ನ್ನು ಎರಡೂ ಕಡೆ OQ2 ನಿಂದ ಭಾಗಿಸಿದಾಗ PQ2/OQ2 + 1 = OP2/OQ2 (PQ/OQ)2 + 1 = (OP/OQ)2 1 + (tan )2 = (sec )2 tan2 + 1 = sec2 ----------(II) ಸಮೀಕರಣ (1) ನ್ನು ಎರಡೂ ಕಡೆ PQ2 ನಿಂದ ಭಾಗಿಸಿದಾಗ 1 +OQ2/PQ2 = OP2/PQ2 1 + (OQ/PQ)2 = (OP/PQ)2 1 + (cot )2 = (cosec )2 1 + cot2 = cosec2 ---------(III) ಸಮೀಕರಣ (I), (II) ಮತ್ತು (III) ನ್ನು ಮೂಲ ಸಂಬಂಧಗಳು(‘Fundamental identities’ )ಎನ್ನುತ್ತೇವೆ.. ಮೊದಲನೇ ಮೂಲ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಆಧರಿಸಿ ಈ ಕೆಳಗಿನ ಸಂಬಂಧಗಳನ್ನೂ ಪಡೆಯಬಹುದು. sin2 = 1-cos2 sin = (1-cos2 ) cos2 = 1-sin2 cos = (1- sin2 ) ಲಘುಕೋನವಾದಾಗ sin ಮತ್ತು cos ಗಳು ಧನವಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಆಗ sin = + (1-cos2 ) cos = + (1-sin2 ) ಮೂಲ ಸಂಬಂಧಗಳನ್ನು ಉಪಯೋಗಿಸಿ ಈ ಕೆಳಗಿನ ಸಂಬಂಧಗಳನ್ನೂ ಪಡೆಯಬಹುದು. : tan = + (sec2 -1), sec = + (1+tan2 ), cot = + (cosec2 -1), cosec = + (1+cot2 ) tan = sin / cos = sin / + (1-sin2 ) ವಿವಿಧ ಸಂಬಂಧಗಳನ್ನು ಕೆಳೆಗೆ ನೀಡಿದಂತೆ ಕ್ರೋಢೀಕರಿಸಬಹುದು: ಗಮನಿಸಿ : sin2 +cos2 =1 ಎನ್ನುವ ಒಂದೇ ಸಂಬಂಧದಿಂದ ಈ ಎಲ್ಲಾ ಸಂಬಂಧಗಳನ್ನು ಪಡೆಯಬಹುದು ಸಮಸ್ಯೆ 1: (1+x2)*sin = x ಆದರೆ, sin2 / cos2 + cos2/ sin2 = x2 + 1/x2 ಎಂದು ಸಾಧಿಸಿ. ಪರಿಹಾರ: (1+x2)*sin = x (ದತ್ತ) sin = x/ (1+x2) sin2 = x2/(1+x2) (ವರ್ಗೀಕರಿಸಿದೆ)--------(1) cos2 = 1 - sin2 (sin2+cos2=1, ಪಕ್ಷಾಂತರದಿಂದ) = 1 - x2/(1+x2) = (1+x2 - x2)/(1+x2) = 1/(1+x2) ----------(2) (1) ಮತ್ತು (2) ರಿಂದ sin2/cos2 = {x2/(1+x2)}/{1/(1+x2)} = x2 -----------(3) cos2/sin2 = 1/x2 -----------(4) (3) ಮತ್ತು (4) ರಿಂದ sin2/cos2 + cos2/sin2 = x2 + 1/x2 ಸಮಸ್ಯೆ 2: sin6+cos6=1-3*sin2.cos2 ಎಂದು ಸಾಧಿಸಿ. ಪರಿಹಾರ: x = sin2 ಮತ್ತು y = cos2 ಆಗಿರಲಿ. x+y = 1 (sin2+cos2=1) LHS ಭಾಗವು a3+b3 ರೂಪದಲ್ಲಿದೆ, ಅದರ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಉಪಯೋಗಿಸಿದಾಗ x3+y3 = (x+y)3-3xy(x+y) = 1-3xy(x+y =1) = 1 – 3*sin2.cos2 ಸಮಸ್ಯೆ 3: tanA/(secA-1)+tanA/(secA+1) = 2cosecA ಎಂದು ಸಾಧಿಸಿ. ಪರಿಹಾರ: LHS = tanA{(secA+1)+(secA-1)}/(sec2A-1) ( ಛೇದ (secA+1)*(secA-1) ಆಗಿರುವಂತೆ) = 2tanA.secA/tan2A (sec2-1 = tan2) = 2secA/tanA = 2secA*cosA/sinA (tanA = sinA/cosA) = 2/sinA (cosA = 1/secA) = 2cosecA > ಪೂರಕ ಕೋನಗಳ ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಅನುಪಾತಗಳು ಪೂರಕ ಕೋನಗಳ ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಅನುಪಾತಗಳು(Trigonometric ratios of complimentary angles): ಲಂಬಕೋನ ತ್ರಿಕೋನದಲ್ಲಿ ಒಂದು ಕೋನವಾಗಿದ್ದರೆ, ಇನ್ನೊಂದು ಕೋನ 900- ಆಗಿರಲೇ ಬೇಕು( ತ್ರಿಕೋನದಲ್ಲಿ ಎಲ್ಲಾ ಕೋನಗಳ ಮೊತ್ತ 1800). ಪಕ್ಕದ ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ, QOP = QPO = 900- sin = PQ/OP ----à(1) cos = OQ/OP ----à(2) tan = PQ/OQ ----à(3) QPO ನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸಿದಾಗ cos(900-) = PQ/OP --à (4) sin(900-) = OQ/OP ---à(5) cot(900-) = PQ/OQ ---à(6) (1), (2) ಮತ್ತು (3) ಗಳನ್ನು (4), (5) ಮತ್ತು (6) ರ ಜೊತೆಗೆ ಹೋಲಿಸಿದಾಗ : 1 sin = cos(900-) 2 cos = sin(900-) 3 tan= cot(900-) 4 cosec = sec(900-) 5 sec = cosec(900-) 6 cot= tan(900-) ಸಮಸ್ಯೆ 4: 3sin620/cos280 - sec420/cosec480= ? ಪರಿಹಾರ: 28 = 90-62 ಮತ್ತು 48 = 90-42 ಆಗಿರುವುದರಿಂದ cos(28) = cos(90-62) = sin62 cosec(48) = cosec(90-42) = sec(42) 3sin620/cos280 - sec420/cosec480 = 3sin620/sin620 - sec420/sec420 = 3-1 = 2 ಸಮಸ್ಯೆ 5: sec4A=Cosec(A-200) ಆಗಿದ್ದು 4A ಲಘುಕೋನವಾಗಿದ್ದರೆ A ಎಷ್ಟು? ಪರಿಹಾರ: ನಮಗೆ sin ಮತ್ತು cos ಗಳು ಹೆಚ್ಚು ಪರಿಚಿತವಾಗಿರುವುದರಿಂದ ಮೇಲಿನ ಸಮೀಕರಣದ ವಿಲೋಮವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸುವ. 1/ sec4A = 1/ Cosec(A-200) Ie, cos4A= sin(A-200) sin(90-4A)= sin(A-200) ( 4A ಲಘುಕೋನವಾಗಿರುವುದರಿಂದ cos = sin(900-)) 90-4A= A-200 90+20= A+4A 110= 5A A= 220 ಕಲಿತ ಸಾರಾಂಶ ಕ್ರ.ಸಂ. ಕಲಿತ ಮುಖ್ಯಾಂಶಗಳು 1 sin2+cos2=1, tan2 + 1 = sec2, 1 + cot2 = cosec2 2 ಪೂರಕ ಕೋನಗಳ ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಅನುಪಾತಗಳು ಮೂಲ : ಫ್ರೀ ಗಣಿತ