ಬೀಜಗಣಿತ-1

ತ್ರಿಪದೋಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಅಪವರ್ತಿಸುವುದು ಬೀಜಗಣಿತದ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಬೀಜೋಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಸುಲಭರೂಪಕ್ಕೆ ತರುವುದು ಬಹಳ ಅಗತ್ಯ. 5-(3a 2 -2a)( 6-3a 2 +2a) = (3a+1)(a-1) (3a-5)(a+1) ಎಂದು ನಿಮಗೆ ಗೊತ್ತೇ? a=1, -1 ಎಂಬ ಬೆಲೆಗಳಿಗೆ ಇದುಸರಿಯಿದೆಯೇ ಎಂದು ಪರೀಕ್ಷಿಸಿ.ಹಾಗಿದ್ದಲ್ಲಿ a ನ ಎಲ್ಲಾ ಬೆಲೆಗೆ ಇದು ಸರಿ ಹೊಂದುತ್ತದೆ ಎಂದು ಸಾಧಿಸುವುದು ಹೇಗೆ? ( ಸಮಸ್ಯೆ 6 ನ್ನು ನೋಡಿ) ಬೀಜೋಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಎರಡು ಅಥವಾ ಹೆಚ್ಚು ಪದಗಳ (ಅಪವರ್ತನಗಳ)ಗುಣಲಬ್ಧವಾಗಿಬರೆಯುವ ಕ್ರಮವನ್ನು ಅಪವರ್ತಿಸುವಿಕೆ ಎನ್ನುವರು.ಬೀಜೋಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಸುಲಭರೂಪಕ್ಕೆ ತರಲು ಅಪವರ್ತಿಸುವಿಕೆ ಅಗತ್ಯ.

ಬೀಜೋಕ್ತಿಗಳ ಮ. ಸಾ. ಅ ವನ್ನು ಹೊರಗೆ ತೆಗೆದು ಸುಲಭರೂಪಕ್ಕೆ ತರಬಹುದು. ಉದಾ:

4x 2 y, 8x 3 ಮತ್ತು 12xy ಗಳ ಮ.ಸಾ.ಅ 4x

4x 2 y+8x 3 +12xy = 4x (xy+2x 2 +3y)

ಎಲ್ಲಾ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ಸುಲಭ ರೂಪದಲ್ಲಿ ತರಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗದೇ ಇರಬಹುದು ಉದಾ: 4x 2 +5y (ಏಕೆ ಎಂದು ಯೋಚಿಸಿ)

x 2 +mx +c ರೂಪದ ತ್ರಿಪದೋಕ್ತಿಯನ್ನು ಅಪವರ್ತಿಸುವುದು ಹೇಗೆ?

ಉದಾ: x 2 +x(a+b)+ab - ಈ ಬೀಜೋಕ್ತಿಯನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವಾ.

x 2 +x(a+b)+ab

= (x 2 +xa)+(xb+ab) ( ಪದಗಳ ಪುನರ್ಜೋಡಣೆ)

= x(x+a)+b(x+a) ( x 2 ಮತ್ತು xa ನ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪದ x, ಮತ್ತು xb ಮತ್ತು ab ನ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪದ b )

= (x+a)(x+b)

ಆದ್ದರಿಂದ x+a ಮತ್ತು x+b ಗಳು x 2 +x(a+b)+ab ಈ ಬೀಜೋಕ್ತಿಯ ಅಪವರ್ತನಗಳು.

ಅರ್ಥಾತ್ x 2 +x(a+b)+ab ಯನ್ನು x+a ಮತ್ತು x+b ಎಂಬ ಪದಗಳ ಗುಣಲಬ್ಧವಾಗಿ ಬರೆಯಬಹುದು

ಉದಾ:

x 2 +5x+6

=x 2 +3x+2x+6

=x(x+3)+2(x+3)

=(x+3)*(x+2)

x+3 ಮತ್ತು x+2 ಇವುಗಳು x 2 +5x+6 ರ ಅಪವರ್ತನಗಳು.

ಇವು x+a ಮತ್ತು x+b ರೂಪದಲ್ಲಿವೆ.

ಈ x+a ಮತ್ತು x+b ಎಂಬ ಅಪವರ್ತನಗಳು ಹೇಗಿವೆ?

a+b= 5 , ab=6 ರೂಪದಲ್ಲಿವೆ.

ಪರಿಶೀಲನೆಯಿಂದ, a=3 ಮತ್ತು b=2 ಬೆಲೆಗಳು a+b=5 ಮತ್ತು ab=6 ಎಂಬ ನಿಯಮಕ್ಕೆ ಬದ್ಧವಾಗಿವೆ.

ಆದ್ದರಿಂದಲೇ 5x ನ್ನು 3x+2x ಎಂದು ವಿಭಜಿಸಿದ್ದು.

ಬೇರೆ ಯಾವುದೇ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ 5x ನ್ನು ವಿಭಾಗಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ.

ಆದರೆ ಎಲ್ಲಾ ತ್ರಿಪದೋಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಈ ರೀತಿ ಅಪವರ್ತಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ. ಅಂಥ ಬೀಜೋಕ್ತಿಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಮುಂದೆ ತಿಳಿಯುವಾ

x 2 +5x+6 ಬೀಜೋಕ್ತಿಯು x 2 +mx +c ರೂಪದಲ್ಲಿದೆ m = 5 and c=6.

ಸಮಸ್ಯೆ 1: ಅಪವರ್ತಿಸಿ x 2 +27x+176

ಪರಿಹಾರ:

ಈಗ ನಾವು a+b=27 ab=176 ಆಗುವಂತೆ a ಮತ್ತು b ಗಳ ಬೆಲೆ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕು.

176 ರ ಅಪವರ್ತನಗಳು: (2, 88), (4, 44), (8, 22), (16, 11).

176 ರ ಋಣ ಅಪವರ್ತನಗಳನ್ನು ಬಿಟ್ಟಿದ್ದೇವೆ. ಏಕೆಂದರೆ ಅವುಗಳ ಮೊತ್ತ ಧನಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ.

ಮೇಲಿನ ಗುಂಪುಗಳಲ್ಲಿ (16, 11) ನಮಗೆ ಬೇಕಾದ a ಮತ್ತು b ಗಳ ಸಂಬಂಧಕ್ಕೆ ಅನುಸಾರವಾಗಿದೆ.

ಇಲ್ಲಿ a= 16 ಮತ್ತು b=11

x 2 +27x+176 = x 2 +16x+11x+ 176

=x(x+16) +11(x+16)

=(x+16) (x+11)

x 2 +27x+176 ರ ಅಪವರ್ತನಗಳು: (x+16) ಮತ್ತು (x+11)

ತಾಳೆ:

(x+16)(x+11) ಇದು (x+a)*(x+b) ರೂಪದಲ್ಲಿದೆ a=16 , b=11

(x+16)*(x+11) = x 2 + x(16+11)+ 16*11

= x 2 +27x+176 ದತ್ತ ಬೀಜೋಕ್ತಿ.

ಸಮಸ್ಯೆ 2 : ಅಪವರ್ತಿಸಿ x 2 -6x-135

ಪರಿಹಾರ:

a+b= -6 , ab= -135 ಆಗುವಂತೆ a ಮತ್ತು b ಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕು.

-135 ರ ಅಪವರ್ತನಗಳು: (3,-45), (-3, +45), (5,-27), (-5, +27), (9,-15), (-9, +15)

ಈ ಜೋಡಿಗಳಲ್ಲಿ, 9-15 = -6 , 9*-15 = -135. ಈ ಜೋಡಿ ನಮಗೆ ಬೇಕಾದ a ಮತ್ತು b ಗಳ ಸಂಬಂಧಕ್ಕೆ ಅನುಸಾರವಾಗಿದೆ.

a= 9 , b= -15

x 2 -15x+9x -135

=x(x-15)+9(x-15)

=(x-15)(x+9)

x 2 -6x-135 ರ ಅಪವರ್ತನಗಳು:

(x-15) ಮತ್ತು (x+9)

ತಾಳೆ:

(x-15)(x+9) ಇದು (x+a)*(x+b) ರೂಪದಲ್ಲಿದೆ. a=-15, b=9

(x-15)*(x+9) = x 2 + x(-15+9)+ (-15*9)= x 2 -6x-135 - ದತ್ತ ಬೀಜೋಕ್ತಿ.

ಸಮಸ್ಯೆ 3: ಅಪವರ್ತಿಸಿ, m 2 +4m-96

ಪರಿಹಾರ:

ಈಗ a+b= 4 ,ab= -96 ಆಗುವಂತೆ a ಮತ್ತು b ಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕು.

(-96) ರ ಅಪವರ್ತನಗಳು: (2,-48), (-2, 48), (3,-32), (-3, +32), (4,-24), (-4, +24), (6,-16), (-6,16), (8,-12), (-8,12)

ಇವುಗಳಲ್ಲಿ - 8+12 = 4 , -8*12 = -96. ಈ ಜೋಡಿ ನಮಗೆ ಬೇಕಾದ a ಮತ್ತು b ಗಳ ಸಂಬಂಧಕ್ಕೆ ಅನುಸಾರವಾಗಿದೆ.

a= -8 , b=12

m 2 -8m+12m -96

=m(m-8)+12(m-8)

=(m-8)(m+12)

m 2 +4m-96 ರ ಅಪವರ್ತನಗಳು: (m-8) ಮತ್ತು (m+12)

ತಾಳೆ:

(m-8)(m+12) ಇದು (m+a)*(m+b) ರೂಪದಲ್ಲಿದ್ದು

a=-8, b=12

(m-8)*(m+12) = m 2 + m(-8+12)+ -8*12

= m 2 +4m-96 - ದತ್ತ ಬೀಜೋಕ್ತಿ

ಈಗ, px 2 +mx +c ರೂಪದ ಬೀಜೋಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಅಪವರ್ತಿಸುವಾ.ಇಲ್ಲಿ x 2 , ದ ಸಹಗುಣಕ 1 ರ ಬದಲಾಗಿ p.

ನಾವಿಲ್ಲಿ a+b=m ಮತ್ತು ab=pc ಆಗುವಂತೆ a ಮತ್ತು b ಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕು.

ಸಮಸ್ಯೆ 3: ಮೂರು ಅನುಕ್ರಮ ಸಮ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮೊತ್ತ 252 . ಆದರೆ ಆ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಾವುವು : ಅಪವರ್ತಿಸಿ 24x 2 -65x+21

ಪರಿಹಾರ:

ಈಗ ನಾವು a+b= -65 ಮತ್ತು ab= 24*21 =504 ಆಗುವಂತೆ a ಮತ್ತು b ಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕು.

(24*21) ರ ಅಪವರ್ತನಗಳ ಜೊತೆಗಳು:(2,252), (-2,-252), (3, 138 ), (-3,-138), (4,126), (-4,-126), (6,83),

(-6,-83), (8,63), (-8,-63), (9,56), (-9,-56), (12,42), (-12,-42)

ಇವುಗಳಲ್ಲಿ, (-9-56) = -65 , -9*(-56) = 504=24*21 ಈ ಜೋಡಿ ನಮಗೆ ಬೇಕಾದ a ಮತ್ತು b ಗಳ ಸಂಬಂಧಕ್ಕೆ ಅನುಸಾರವಾಗಿದೆ.

a= -9 , b= -56

24x 2 -65x+21

=24x 2 -9x -56x+21 ( -65x ನ್ನು -9x-56x ಎಂದು ಬರೆದಿದೆ.)

=3x(8x-3) -7(8x-3) {(24x 2 ಮತ್ತು , 9x. ಗಳ ಮ.ಸಾ.ಅ 3x

-56x ಮತ್ತು 21 ಗಳ ಮ.ಸಾ.ಅ -7)}

= (8x-3)(3x-7) ( 8x-3 ಸಾಮಾನ್ಯ ಪದ)

24x 2 -65x+21 ರ ಅಪವರ್ತನಗಳು: (8x-3) ಮತ್ತು (3x-7 )

ತಾಳೆ:

(8x-3)(3x-7)

=8x(3x-7)-3(3x-7) (ಪ್ರತೀ ಪದವನ್ನು ಗುಣಿಸಿದಾಗ)

=24x 2 -56x -9x+21 (ಸುಲಭೀಕರಿಸಿದಾಗ)

=24x 2 -65x+21 – ದತ್ತ ಬೀಜೋಕ್ತಿ.

ಸಮಸ್ಯೆ 5: ಅಪವರ್ತಿಸಿ 6p 2 +11pq -10q 2

ಪರಿಹಾರ:

ಈಗ, a+b= 11 , ab= 6*(-10) =-60 ಆಗುವಂತೆ a ಮತ್ತು b ಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕು.

-60 ರ ಅಪವರ್ತನಗಳ ಜೊತೆಗಳು: (2,-30), (-2,30),(3, -20 ),(-3,20) (4,-15), (-4,15), (5,-12),(-5,12),(6,-10),

(-6,10)

ಇವುಗಳಲ್ಲಿ,- 4+15 = 11 , -4*15 = -60 a=15, b=-4. ಈ ಜೋಡಿ ನಮಗೆ ಬೇಕಾದ a ಮತ್ತು b ಗಳ ಸಂಬಂಧಕ್ಕೆ ಅನುಸಾರವಾಗಿದೆ.

6p 2 +11pq -10q 2

=6p 2 +15pq -4pq-10q 2 ( 11pq = 15pq-4pq)

=3p(2p+5q) -2q(2p+5q)

=(2p+5q)(3p-2q)

6p 2 +11pq -10q 2 ರ ಅಪವರ್ತನಗಳು: 2p+5q ಮತ್ತು 3p-2q

ತಾಳೆ:

(2p+5q)(3p-2q)

=2p(3p-2q)+5q(3p-2q) (ಪ್ರತೀ ಪದವನ್ನು ಗುಣಿಸಿದಾಗ)

=6p 2 -4pq +15qp-10q 2 (ಸುಲಭೀಕರಿಸಿದಾಗ)

= 6p 2 +11pq -10q 2 - ದತ್ತ ಬೀಜೋಕ್ತಿ.

ಸಮಸ್ಯೆ 6: ಅಪವರ್ತಿಸಿ, 5-(3a 2 -2a) (6-3a 2 +2a)

ಪರಿಹಾರ:

ಇಲ್ಲಿ x =3a 2 -2a ಎಂದು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವಾ.

ಆದ್ದರಿಂದ 5-x( 6-x) ವನ್ನು ಅಪವರ್ತಿಸಬೇಕು.

5-x( 6-x)

= 5 -6x + x 2

= x 2 -6x +5 = x 2 -5x -x+5

= x(x-5)-1(x-5)

= (x-1)(x-5)

x ನ ಬೆಲೆಯನ್ನು ಆದೇಶಿಸಿದಾಗ,

5-(3a 2 -2a)( 6-3a 2 +2a)

= (3a 2 -2a -1) (3a 2 -2a-5)

ಆದರೆ 3a 2 -2a -1 = 3a 2 -3a+a -1 = 3a(a-1)+1(a-1) = (3a+1)(a-1)

3a 2 -2a-5 = 3a 2 +3a -5a-5 = 3a(a-1)-5(a+1) = (3a-5)(a+1)

5-(3a 2 -2a)( 6-3a 2 +2a) = (3a+1)(a-1) (3a-5)(a+1)

ತಾಳೆ:

ಪ್ರತೀ ಪದವನ್ನು ಪ್ರತೀ ಪದದೊಂದಿಗೆ ಗುಣಿಸಿರಿ. a=2 ಎಂಬ ಬೆಲೆಗೆ ಸರಿಯಿದೆಯೇ ಎಂದು ಪರೀಕ್ಷಿಸಿ,(5 -8*-2) = 21 = (7*1*1*3) ರೇಖಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಮೂರು ಅನುಕ್ರಮ ಸಮ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮೊತ್ತ 252. ಆದರೆ ಆ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಾವುವು? (ಅವು 80,82,84 ? 70,72,74 ?) ಒಂದು ಆಯತದ ಉದ್ದವು ಅಗಲಕ್ಕಿಂತ 4 ಸೆಂ.ಮೀ ಹೆಚ್ಚಿದೆ. ಸುತ್ತಳತೆಯು ಅಗಲಕ್ಕಿಂತ 11ಸೆಂ.ಮೀ. ಹೆಚ್ಚಿದ್ದಲ್ಲಿ ಆಯತದ ಉದ್ದ ಮತ್ತು ಅಗಲಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.(ಉದ್ದ 6, ಅಗಲ 2) ? (ಉದ್ದ 7, ಅಗಲ 3 ? ) ಒಬ್ಬ ಯಾತ್ರಿಕನು ತನ್ನ ಹಣದ ಅರ್ಧ ಭಾಗವನ್ನು ಪ್ರಯಾಗದಲ್ಲಿಯೂ, ಉಳಿದುದರ 2/9 ಭಾಗವನ್ನು ಕಾಶಿಯಲ್ಲಿಯೂ, ಉಳಿದುದರ 1/4 ಭಾಗವನ್ನು ತೆರಿಗೆಗಳಿಗೂ, ಇನ್ನುಳಿದುದರ 6/10 ಭಾಗವನ್ನು ಗಯೆಯಲ್ಲಿಯೂ ಖರ್ಚುಮಾಡಿದನಂತರ ಉಳಿದ 63 ನಿಷ್ಕಗಳನ್ನು(ಹಣದ ಅಳತೆ) ಮನೆಗೆ ತಂದರೆ, ಯಾತ್ರೆಗೆ ತೆಗೆದು ಕೊಂಡು ಹೋದ ಹಣ ಎಷ್ಟು?(ಲೀಲಾವತಿ ಶ್ಲೋಕ 55) ಇಂತಹ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಬಿಡಿಸುವುದನ್ನು ಇಲ್ಲಿ ಕಲಿಯುತ್ತೇವೆ.

ವ್ಯಾಖ್ಯೆ: ಎರಡು ಬೀಜೋಕ್ತಿಗಳ ಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಸೂಚಿಸುವ ಹೇಳಿಕೆಯನ್ನು ‘ಸಮೀಕರಣ’ (Equations) ಎನ್ನುತ್ತೇವೆ. ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿ ಬರುವ ಒಂದು ಅಥವಾ ಒಂದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಅವ್ಯಕ್ತ ಪದಗಳ ರಾಶಿಯನ್ನು ‘ಚರಾಕ್ಷರ’ಗಳೆನ್ನುವರು.

ಉದಾ: x+2 =5

ಸಮೀಕರಣದ ಎಡಭಾಗವನ್ನು (LHS) ಎಂತಲೂ ಬಲಭಾಗವನ್ನು (RHS) ಎಂತಲೂ ಹೇಳುತ್ತೇವೆ.

ಗಮನಿಸಿ:

6=6 ಇದು ಸರಿತಾನೆ? ======è (1)

ಇಲ್ಲಿ ಎಡಭಾಗ (LHS) ದಲ್ಲಿ 6 ಇದೆ. ಬಲಭಾಗದಲ್ಲೂ 6 ಇದೆ. ಇವೆರಡೂ ಪರಸ್ಪರ ಸಮ.

ಈಗ 2 ನ್ನು ಸಮೀಕರಣ (1)ರ ಎರಡೂ ಬದಿಗಳಿಗೆ ಕೂಡಿಸುವಾ.

ಎಡಭಾಗ (LHS) =6+2=8 , ಬಲಭಾಗ (RHS) = 6+2 =8

ಈಗಲೂ ಕೂಡಾ ಎರಡೂ ಭಾಗಗಳು ಪರಸ್ಪರ ಸಮ.

ಈಗ ಸಮೀಕರಣ (1) ಎರಡೂ ಬದಿಗಳಿಂದ 3 ನ್ನ ಕಳೆಯುವಾ.

ಎಡಭಾಗ = 6-3 =3 , ಬಲಭಾಗ = 6-3 =3

ಈಗಲೂ ಕೂಡಾ ಎರಡೂ ಭಾಗಗಳು ಸಮ.

ಈಗ ಎರಡೂ ಬದಿಗಳಿಗೆ 6 ರಿಂದ ಗುಣಿಸಿ

ಎಡಭಾಗ = 6*6=36 , ಬಲಭಾಗ = 6*6 =36

ಈಗಲೂ ಎಡಭಾಗ = ಬಲಭಾಗ.

ಸಮೀಕರಣ (1)ರ ಎರಡೂ ಬದಿಗಳನ್ನು 3 ರಿಂದ ಭಾಗಿಸಿ.

ಎಡಭಾಗ = 6/3=2 , ಬಲಭಾಗ = 6/3=2

ಎಡಭಾಗ = ಬಲಭಾಗ.

ಸಮಾನತೆಯ ಗುಣಗಳು( ಸ್ವಯಂ ಸಿದ್ಧಗಳು) (Properties of Equality):(Axioms)

ಒಂದೇ ಪರಿಮಾಣವನ್ನು ಸಮೀಕರಣದ ಎರಡೂ ಬದಿಗಳಿಗೆ ಕೂಡಿಸಿದರೆ, ಸಮಾನತೆ ಬದಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಒಂದೇ ಪರಿಮಾಣವನ್ನು ಸಮೀಕರಣದ ಎರಡೂ ಬದಿಗಳಿಗೆ ಕಳೆದರೆ, ಸಮಾನತೆ ಬದಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಒಂದೇ ಪರಿಮಾಣದಿಂದ ಸಮೀಕರಣದ ಎರಡೂ ಬದಿಗಳಿಗೆ ಗುಣಿಸಿದರೆ, ಸಮಾನತೆ ಬದಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಒಂದೇ ಪರಿಮಾಣದಿಂದ ಸಮೀಕರಣದ ಎರಡೂ ಬದಿಗಳಿಗೆ ಭಾಗಿಸಿದರೆ, ಸಮಾನತೆ ಬದಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ LHS=RHS ಇರುವ ಯಾವುದೇ ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿ ಮೇಲಿನ ಯಾವುದಾದರೂ ಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ನಡೆಸಿದರೆ,ಫಲಿತಾಂಶವೂ LHS=RHS ಆಗಿರುತ್ತದೆ.

ವ್ಯಾಖ್ಯೆ: ಏಕ ಪರಿಮಾಣಾತ್ಮಕವಿರುವ ಬಹುಪದಗಳಾಗಲೀ, ಮೊದಲನೇ ಘಾತವಿರುವ ಚರಾಕ್ಷರಗಳನ್ನಾಗಲೀ ಹೊಂದಿರುವ ಸಮೀಕರಣಗಳೇ ರೇಖಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳು. (‘linear equation’)

ಉದಾ: x+2 =5, 3*(a-5) =6, ½ x -4/5 = 3x+7.

ಆದರೆ x 2 -4 =0 ಇದು ರೇಖಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣವಲ್ಲ (ಏಕೆಂದರೆ x ನ ಘಾತಾಂಕ 2)

ಉದಾಹರಣೆ 1:

x-3 = 1 ಈ ಹೇಳಿಕೆಯನ್ನು ಗಮನಿಸಿ. ಇಲ್ಲಿ x ಒಂದು ಚರಾಕ್ಷರ.

ಈ ಹೇಳಿಕೆಯನ್ನ ಹೀಗೂ ಹೇಳಬಹುದು: “xನ ಬೆಲೆಯನ್ನು ಕಂಡು ಹಿಡಿಯಿರಿ- ಹೇಗೆಂದರೆ ಅದರಲ್ಲಿ 3 ನ್ನ ಕಳೆದಾಗ ಫಲಿತಾಂಶ 1 ಆಗಬಹುದು.”

ಈಗ x-3 =1 ಹೇಳಿಕೆಯಲ್ಲಿನ x ಗೆ ಬೇರೆಬೇರೆ ಬೆಲೆಗಳನ್ನು ಆದೇಶಿಸುವಾ.

1. x = 1 ಆಗಲು ಸಾಧ್ಯವೆ? ಇಲ್ಲ. ಏಕೆಂದರೆ 1-3 =-2

2. x = 2 ಆಗಲು ಸಾಧ್ಯವೆ? ಇಲ್ಲ. ಏಕೆಂದರೆ 2-3 =-1

3. x =5 ಆಗಲು ಸಾಧ್ಯವೆ? ಇಲ್ಲ. ಏಕೆಂದರೆ 5-3 =2

4. x =4 ಆಗಲು ಸಾಧ್ಯವೆ? ಹೌದು 4-3=1.

ಈ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ xನ ಬೆಲೆ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ತುಂಬಾ ಸಮಯಬೇಕು.

ಆದರೆ ಗಣಿತ ಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಇದಕ್ಕೆ ಸುಲಭ ವಿಧಾನವಿದೆ.

ದತ್ತ ಹೇಳಿಕೆಯ ಎರಡೂಬದಿಗೆ 3ನ್ನೇ ಕೂಡಿಸುವಾ.

x-3+3= 1+3

x+0 = 4.

x= 4

ಇಲ್ಲಿ ನಾವೀಗ ಒಂದೇ ಪರಿಮಾಣ(=3)ವನ್ನು ಎರಡೂ ಬದಿಗಳಿಗೆ ಕೂಡಿಸಿದ್ದೇವೆ.

ಕೂಡಿಸಲು 3ನ್ನೇ ಯಾಕೆ ತೆಗೆದು ಕೊಂಡಿದ್ದೇವೆ?

ನಮಗೆ ಎಡಭಾಗದಲ್ಲಿ x ಬಿಟ್ಟು ಉಳಿದ ಯಾವ ಸಂಖ್ಯೆಯೂ ಬೇಡ. ಅದನ್ನು ತೆಗೆಯಲಿಕ್ಕಾಗಿ -3 ನ್ನು ತೆಗೆಯಲು 3 ನ್ನ ಕೂಡಿಸಬೇಕಾಯಿತು

ಉದಾಹರಣೆ 2: 6x+4 = 3x+10 ಆದರೆ x ನ ಬೆಲೆ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

ಇಲ್ಲಿ: 6x+4

ಬಲಭಾಗ: 3x+10

ಹಂತ 1:

3x ನ್ನ ಎರಡೂ ಬದಿಗಳಿಂದ ಕಳೆಯಿರಿ.(ಯಾಕೆಂದರೆ ಬಲಭಾಗದಲ್ಲಿರುವ ಚರಾಕ್ಷರವನ್ನು ತೆಗೆಯಬೇಕು.)

ಬಲಭಾಗ = 3x+10-3x= 10

ಎಡಭಾಗ= 6x+4-3x = 3x+4

2 ನೇ ಸ್ವಯಂಸಿದ್ಧದಿಂದ, ಬಲಭಾಗ= ಎಡಭಾಗ.

ಹಂತ 2:

ಈಗ ಎಡಭಾಗದಲ್ಲಿರುವ 4 ನ್ನ ತೆಗೆಯಬೇಕು.ಆದ್ದರಿಂದ ಎರಡೂಬದಿಗಳಿಂದ 4ನ್ನ ಕಳೆಯಿರಿ

ಎಡಭಾಗ= 3x+4-4=3x

ಬಲಭಾಗ = 10-4 = 6

2 ನೇ ಸ್ವಯಂಸಿದ್ಧದಿಂದ, ಬಲಭಾಗ= ಎಡಭಾಗ.

ಹಂತ 3

ಎಡಭಾಗದ x ನ ಸಹಗುಣಕ 3ರಿಂದ ಎರಡೂ ಬದಿಗಳನ್ನ ಭಾಗಿಸಿ.

ಎಡಭಾಗ= 3x/3 =x

ಬಲಭಾಗ = 6/3 =2

4 ನೇ ಸ್ವಯಂಸಿದ್ಧದಿಂದ, ಬಲಭಾಗ= ಎಡಭಾಗ.

x=2

ಈಗ ಮೊದಲೆರಡು ಹಂತಗಳಲ್ಲಿ ನಾವೇನು ಮಾಡಿದ್ದೇವೆ?

ಮೊದಲು ಎರಡೂ ಬದಿಗಳಿಂದ 3xನ್ನ ಕಳೆದು, ನಂತರ ಸ್ಧಿರಾಂಕ 4ನ್ನ ಕಳೆದಿದ್ದೇವೆ.

ಇದರ ಅರ್ಥ: 3xನ್ನ ಮತ್ತು 4ರ ಸಂಕಲನದ ವಿಲೋಮ (-3x ಮತ್ತು-4) ನ್ನ ಎರಡೂ ಬದಿಗಳಿಗೆ ಕೂಡಿಸಿದ್ದು.

ಅಥವಾ 3x ನ ಚಿಹ್ನೆ ಬದಲಾವಣೆ ಮಾಡಿ, ಇನ್ನೊಂದು ಬದಿಗೆ ಹಾಕಿದ್ದೇವೆ.

ಅದೇರೀತಿ 4 ರ ಚಿಹ್ನೆ ಬದಲಾಯಿಸಿ ಇನ್ನೊಂದು ಬದಿಯಲ್ಲಿ ಬರೆದಿದ್ದೇವೆ.

ಈಗ ಹಂತಗಳನ್ನು ಕ್ರೋಢೀಕರಿಸುವಾ:

ಹಂತ

ಹೇಳಿಕೆ

ವಿವರಣೆ

1

6x+4= 3x+10

ದತ್ತ ಸಮೀಕರಣ

2

6x+4-3x =10

i.e. 3x+4 =10

ಬಲಭಾಗದಿಂದ ಎಡಭಾಗಕ್ಕೆ 3x ಚಿಹ್ನೆ ಬದಲಾಯಿಸಿಕೊಂಡು ಹೋಗಿದೆ..

3

3x= 10-4

i.e. 3x =16

4 ಎಡಭಾಗದಿಂದ ಬಲಭಾಗಕ್ಕೆ ಚಿಹ್ನೆ ಬದಲಾಯಿಸಿಕೊಂಡು ಹೋಗಿದೆ.

4

x=2

ಸುಲಭರೂಪಕ್ಕೆ ತಂದಿದೆ(ಎರಡೂ ಬದಿಯನ್ನು 3 ರಿಂದ ಭಾಗಿಸಿದೆ)

ತಾಳೆ

ಸಮೀಕರಣ (1) ರಲ್ಲಿ x ನ ಬದಲಾಗಿ 2 ನ್ನ ಆದೇಶಿಸಿ.

ಎಡಭಾಗ= 6*2+4 = 16

ಬಲಭಾಗ= 3*2+10 =16

ಬಲಭಾಗ= ಎಡಭಾಗ.=16 ; x=2 ಇದು ಸರಿಯಾದ ಉತ್ತರ.

ವ್ಯಾಖ್ಯೆ

ಯಾವ ಚರಾಕ್ಷರದ ಬೆಲೆಯನ್ನು ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿ ಆದೇಶಿಸಿದಾಗ, ಎರಡೂ ಕಡೆ (ಎಡಭಾಗ ಮತ್ತು ಬಲಭಾಗ) ಸಮವಾಗುವುದೋ, ಆ ಅವ್ಯಕ್ತ ಪದದ ಬೆಲೆಯನ್ನು ಕಂಡು ಹಿಡಿಯುವುದನ್ನು ‘ಸಮೀಕರಣದ ಪರಿಹಾರ (’‘solution’)ಕಂಡು ಹಿಡಿಯುವುದು ಎನ್ನುತ್ತೇವೆ. ಇದನ್ನೇ ‘ಸಮೀಕರಣ ಬಿಡಿಸುವುದು’ ಎಂತಲೂ ಕರೆಯುತ್ತೇವೆ.

ಮೇಲಿನ ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿ x =2 - ಇದು ಸಮೀಕರಣದ ಪರಿಹಾರ.ಈ ಮೇಲಿನ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ x=1 ಪರಿಹಾರವಲ್ಲ.ಏಕೆಂದರೆ 1ನ್ನು x ಸ್ಥಾನದಲ್ಲಿ ಆದೇಶಿಸಿದಾಗ LHS = 10 ,RHS=13 ಆಗುತ್ತದೆ. ಹೀಗಾಗಿ LHS

ಸಮಸ್ಯೆ 1 : ಈ ಸಮೀಕರಣ ಬಿಡಿಸಿ (x ನ ಬೆಲೆ ಕಂಡು ಹಿಡಿ): 5*(2x-3) = 2*(3x-7)

ಪರಿಹಾರ:

ಹಂತ

ಹೇಳಿಕೆ

ವಿವರಣೆ

1

5*(2x-3) = 2*(3x-7)

ಪರಿಹಾರ

2

10x -15 = 6x -14

ದತ್ತ ಸಮೀಕರಣ

3

10x -6x= -14+15

ಸುಲಭರೂಪಕ್ಕೆ ತಂದಿದೆ.

4

4x = 1:i,e x = 1/4

6x ಮತ್ತು 15 ಇವುಗಳನ್ನು ಚಿಹ್ನೆ ಬದಲಾಯಿಸಿ ಇನ್ನೊಂದು ಬದಿಗೆ ವರ್ಗಾಯಿಸಿದೆ.

ತಾಳೆ

1/4 ನ್ನ x ದತ್ತ ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿ ಆದೇಶಿಸಿ.

ಎಡಭಾಗ= 5*(2*1/4 -3) = 5*(1/2-3) = 5*(-5/2) = -25/2

ಬಲಭಾಗ= 2*(3*1/4-7) = 2*(3/4-7) = 2*(-25/4) = -25/2

ಎಡಭಾಗ= ಬಲಭಾಗ= -25/2, x =1/4 ಇದು ಸರಿಯಾದ ಪರಿಹಾರ.

ಸಮಸ್ಯೆ 2 : x ನ ಬೆಲೆ ಕಂಡುಹಿಡಿ .

= 1/2

ಪರಿಹಾರ:

ಸಮೀಕರಣದ ಎರಡೂ ಬದಿಗಳನ್ನು ವರ್ಗಮಾಡಿ.

(x-2)/(x+1) = 1/4

ಅಡ್ಡ ಗುಣಕಾರ ಮಾಡಿ.

4(x-2) = x+1

i.e. 4x – 8 = x+1 (ಸುಲಭರೂಪಕ್ಕೆ ತಂದಿದೆ.)

i.e. 4x –x = 1+8 ( ವರ್ಗಾಯಿಸಿದೆ.)

i.e. 3x = 9

x=3

ತಾಳೆ:

xನ ಬೆಲೆ 3ನ್ನ ದತ್ತ ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿ ಆದೇಶಿಸಿ. = 1/2

ಸಮಸ್ಯೆ 3: ಮೂರು ಅನುಕ್ರಮ ಸಮ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮೊತ್ತ 252. ಆದರೆ ಆ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಾವುವು?

ಪರಿಹಾರ:

ಹಂತ 1 : ಮೊದಲ ಸಮ ಸಂಖ್ಯೆ x ಆಗಿರಲಿ

ಹಂತ 2 : ಮುಂದಿನ ಅನುಕ್ರಮ ಸಮ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು = (x+2) ಮತ್ತು (x+4).

ಹಂತ 3 : x+(x+2)+(x+4) = 3x+6 = 252. (ದತ್ತ)

3x+6 = 252

3x = 252-6=246

x = 82

ಮೂರು ಅನುಕ್ರಮ ಸಮ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು 82(=x),

84(=x+2)

86(=x+4)

ತಾಳೆ:

82, 84, 86 ಈ ಮೂರು ಅನುಕ್ರಮ ಸಮಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಕೂಡಿಸಿ. ಮೊತ್ತ = 252

ಸಮಸ್ಯೆ 4: ಒಂದು ಹಡಗು ಪ್ರವಾಹದ ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿ ಒಂದು ಬಂದರಿನಿಂದ ಇನ್ನೊಂದು ಬಂದರಿಗೆ 9 ಗಂಟೆಗಳಲ್ಲಿ ತಲಪುವುದು. ಪ್ರವಾಹದ ವಿರುದ್ಧ ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿ ಅದೇ ದೂರವನ್ನು ಪ್ರಯಾಣ ಮಾಡಲು 10 ಗಂಟೆಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವುದು. ಪ್ರವಾಹದ ವೇಗ ಗಂಟೆಗೆ 1ಕಿ.ಮಿ. ಇದ್ದರೆ, ಎರಡು ಬಂದರುಗಳಿಗಿರುವ ದೂರವನ್ನು ಕಂಡು ಹಿಡಿಯಿರಿ.

ಪರಿಹಾರ:

1) ನಿಶ್ಚಲ ನೀರಿನಲ್ಲಿ ಹಡಗಿನ ವೇಗ ಗಂಟೆಗೆ x ಕಿ.ಮೀ. ಆಗಿರಲಿ.

ಪ್ರವಾಹದ ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿ ಹಡಗಿನ ವೇಗ = (x+1) ಕಿ.ಮೀ./ಗಂ.

ಪ್ರವಾಹದ ವಿರುದ್ಧವಾಗಿ ಹಡಗಿನ ವೇಗ = (x-1) ಕಿ.ಮೀ./ಗಂ.

ಪ್ರವಾಹದ ನೇರದಲ್ಲಿ 9 ಗಂಟೆಯಲ್ಲಿ ಚಲಿಸಿದ ದೂರ =9(x+1).

ಪ್ರವಾಹದ ವಿರುದ್ಧವಾಗಿ 10 ಗಂಟೆಯಲ್ಲಿ ಚಲಿಸಿದ ದೂರ = 10(x-1)

2) ಈ ಎರಡೂ ದೂರಗಳು ಪರಸ್ಪರ ಸಮ

9(x+1) = 10(x-1)

3) 9x+9 =10x-10 :9+10 =10x-9x(ವರ್ಗಾಯಿಸಿದೆ.) 19= x =19 ನ್ನು, 9(x+1) ರಲ್ಲಿ ಆದೇಶಿಸಿ. ಪ್ರವಾಹದ ನೇರದಲ್ಲಿ ಹಡಗು ಚಲಿಸಿದ ದೂರ =9(x+1) = 9*(19+1)=9*20 = 180 ಕಿ.ಮೀ.

= 180 ಕಿ.ಮೀ.

ತಾಳೆ:

ಪ್ರವಾಹದ ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿ ಹಡಗಿನ ವೇಗ= (ದೂರ/ಸಮಯ)- ಪ್ರವಾಹದ ವೇಗ= (180/9)-1 = (20-1) ಕಿ.ಮೀ./ಗಂ=19 ಕಿ.ಮೀ./ಗಂ

ಪ್ರವಾಹದ ವಿರುದ್ಧದಲ್ಲಿ ಹಡಗಿನ ವೇಗ= (ದೂರ/ಸಮಯ)+ ಪ್ರವಾಹದ ವೇಗ= (180/10) +1 = (18+1) ಕಿ.ಮೀ./ಗಂ=19 ಕಿ.ಮೀ./ಗಂ

ಈ ಮೇಲಿನಿಂದ ನಮ್ಮ ಪರಿಹಾರ ಸರಿಯಾಗಿದೆ ಎಂದು ತಿಳಿಯಬಹುದು.

ಸಮಸ್ಯೆ 5: ಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆಯಲ್ಲಿ ಎರಡು ಅಂಕಿಗಳಿವೆ. ದಶಕಸ್ಥಾನದ ಅಂಕೆಯು ಏಕಸ್ಥಾನದ ಅಂಕದ ಎರಡರಷ್ಟಿದೆ. ಸಂಖ್ಯೆಯ ಅಂಕಗಳನ್ನು ಅದಲು ಬದಲು ಮಾಡಿದಾಗ ಬರುವ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಮೂಲ ಸಂಖ್ಯೆಗಿಂತ 27 ಕಡಿಮೆ ಇದ್ದರೆ ಮೂಲ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

ಪರಿಹಾರ:

1 ಸಂಖ್ಯೆಯ ಏಕ ಸ್ಥಾನದ ಅಂಕೆ x ಆಗಿರಲಿ. ದಶಕಸ್ಥಾನದ ಅಂಕೆಯು ಏಕಸ್ಥಾನದ ಅಂಕೆಯ 2 ರಷ್ಟಿರುವುದರಿಂದ, ದಶಕ ಸ್ಥಾನದ ಅಂಕೆ = 2x .

ಸಂಖ್ಯೆಯಲ್ಲಿ 2 ಅಂಕಿಗಳಿರುವುದರಿಂದ ಅದರ ಬೆಲೆ =10*ದಶಕ ಸ್ಥಾನದ ಅಂಕೆ+ ಏಕ ಸ್ಥಾನದ ಅಂಕೆ = 10*2x+x. =20x+x = 21 x -------------è (1)

ಅಂಕಿಗಳನ್ನು ಅದಲು ಬದಲು ಮಾಡಿದಾಗ, ದಶಕ ಸ್ಥಾನದಲ್ಲಿ x ಬರುತ್ತದೆ, 2x ಏಕಸ್ಥಾನದಲ್ಲಿ ಬರುತ್ತದೆ.

ಆಗ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಬೆಲೆ = 10* ದಶಕ ಸ್ಥಾನದ ಅಂಕೆ + ಏಕಸ್ಥಾನದ ಅಂಕೆ.

= 10*x+2x =10x+2x = 12 x --------------è ತಿರುಗಿಸಿದ ಸಂಖ್ಯೆ.

ದತ್ತಾಂಶದಂತೆ, ಹೊಸ ತಿರುಗಿಸಿದ ಸಂಖ್ಯೆ = ಹಳೇ ಸಂಖ್ಯೆ – 27 10x+2x = 20x+x-27 12x = 21x-27

27 = 21x-12x(12x ಮತ್ತು 27ರ ಸ್ಥಾನ ಬದಲಿಸಿದಾಗ)

27 =9x x = 3. ಮೂಲ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಬಿಡಿಸ್ಥಾನದ ಅಂಕೆ = 3, ಮೂಲ ಸಂಖ್ಯೆಯ ದಶಕಸ್ಥಾನದ ಅಂಕೆ = 3*2 = 6 ಮೂಲ ಸಂಖ್ಯೆ = 63

ತಾಳೆ:

ಮೂಲ ಸಂಖ್ಯೆ = 63

ಅಂಕೆಗಳನ್ನು ಅದಲು ಬದಲು ಮಾಡಿದಾಗ ಬರುವ ಸಂಖ್ಯೆ = 36(36 = 63 -27.)

ಇದು ದತ್ತಾಂಶಕ್ಕೆ ಸರಿಯಾಗಿದೆ.

ಸಮಸ್ಯೆ 6: ಒಂದು ಆಯತದ ಉದ್ದವು ಅಗಲಕ್ಕಿಂತ 4 ಸೆಂ.ಮೀ ಹೆಚ್ಚಿದೆ. ಸುತ್ತಳತೆಯು ಅಗಲಕ್ಕಿಂತ 11ಸೆಂ.ಮೀ. ಹೆಚ್ಚಿದ್ದಲ್ಲಿ ಆಯತದ ಉದ್ದ ಮತ್ತು ಅಗಲಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

ಪರಿಹಾರ:

ಹಂತ 1: ಆಯತದ ಅಗಲ x ಆಗಿರಲಿ. ಉದ್ದ = x+4.

ಆಯತದ ಸುತ್ತಳತೆ P = 2* ಉದ್ದ + 2* ಅಗಲ

= 2(x+4)+2x

= 2x+8+2x

P = 4x +8 --------------è (1)

ಆದರೆ ದತ್ತಾಂಶದಂತೆ, ಸುತ್ತಳತೆಯು ಅಗಲಕ್ಕಿಂತ 11ಸೆಂ.ಮೀ ಹೆಚ್ಚಿದೆ.

P = x+11 --------------è (2)

ಹಂತ 2 :

ಸಮೀಕರಣ (1) ಮತ್ತು (2) ರಿಂದ,

2x+8+2x = x+11

4x+8 = x+11

4x-x = 11-8(x ಮತ್ತು 8ರ ಸ್ಥಾನ ಬದಲಿಸಿದೆ.)

3x = 3

x = 1.

ಆಯತದ ಅಗಲ =11ಸೆಂ.ಮೀ., ಉದ್ದ = x+4 = 5 ಸೆಂ.ಮೀ.

ತಾಳೆ:

ಆಯತದ ಸುತ್ತಳತೆ P = 2* ಉದ್ದ + 2* ಅಗಲ

= 2*5+2*1

= 10+2

= 12 ಸೆಂ.ಮೀ

= 11 ಸೆಂ.ಮೀ +1 ಸೆಂ.ಮೀ

= 11 ಸೆಂ.ಮೀ + ಅಗಲ

ಸಮಸ್ಯೆ 7: ಒಂದು ಭಿನ್ನರಾಶಿಯಲ್ಲಿ ಅಂಶದ ಎರಡರಷ್ಟು ಛೇದಕ್ಕಿಂತ 2 ಹೆಚ್ಚಿದೆ.3ನ್ನ ಅಂಕ ಮತ್ತು ಛೇದ ಎರಡಕ್ಕೂ ಸೇರಿಸಿದಾಗ ಬರುವ ಭಿನ್ನರಾಶಿಯು 2/3 ಆದರೆ, ಮೂಲ ಭಿನ್ನರಾಶಿಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

ಪರಿಹಾರ:

ಹಂತ 1: ಭಿನ್ನರಾಶಿಯ ಅಂಶವು x ಆಗಿರಲಿ.

ಅಂಶದ ಎರಡರಷ್ಟು = ಛೇದಕ್ಕಿಂತ 2 ಹೆಚ್ಚು.

2x = ಛೇದ +2.

ಛೇದ= 2x-2

ಮೂಲ ಭಿನ್ನರಾಶಿ = x/2x-2

3 ನ್ನ ಛೇದಕ್ಕೆ ಕೂಡಿಸಿದಾಗ , ಹೊಸ ಛೇದ = (2x-2) +3=2x+1

3 ನ್ನ ಅಂಶಕ್ಕೆ ಕೂಡಿಸಿದಾಗ ಹೊಸ ಅಂಶ = x+3

ಹೊಸ ಭಿನ್ನರಾಶಿ = (x+3)/ (2x+1)

ದತ್ತಾಂಶದಂತೆ ಹೊಸ ಭಿನ್ನರಾಶಿ 2/3

ಹಂತ 2 : 2/3 = (x+3)/(2x+1) --------------è(1)

ಅಡ್ಡ ಗುಣಕಾರ ಮಾಡಿದಾಗ,

2*(2x+1) =3 (x+3) --------------è(2)

4x+2 =3x+9 (3x ಮತ್ತು 2 ನ್ನ ಪರಸ್ಪರ ವರ್ಗಾಯಿಸಿದೆ.)

4x-3x= 9-2

x= 7

ಮೂಲ ಭಿನ್ನರಾಶಿಯ ಛೇದ = 2x-2 =14-2=12

ಮೂಲ ಭಿನ್ನರಾಶಿ = 7/12

ತಾಳೆ:

ಮೂಲ ಭಿನ್ನರಾಶಿ = 7/12

3ನ್ನ ಅಂಕ ಮತ್ತು ಛೇದಗಳಿಗೆ ಕೂಡಿಸಿದಾಗ = 10/15 = 2/3 - ದತ್ತ

ಸಮಸ್ಯೆ 8: ದೊಡ್ಡಭಾಗವನ್ನು ಚಿಕ್ಕಭಾಗದಿಂದ ಭಾಗಿಸಿದಾಗ, ಭಾಗಲಬ್ಧ 2 ಮತ್ತು ಶೇಷ 5 ಆಗಿರುವಂತೆ, 32 ನ್ನ ಎರಡು ಭಾಗ ಮಾಡಿ..

ಪರಿಹಾರ:

ದೊಡ್ಡಭಾಗ = ಆಗಿರಲಿ ಚಿಕ್ಕಭಾಗ = 32-x

ಭಾಜ್ಯ= ಭಾಗಲಬ್ಧ*ಭಾಜಕ ± ಶೇಷ..

x/(32-x) = 2+ 5(±ಶೇಷ.) ಒಂದು ಘನಾಕೃತಿಯ ಉದ್ದ . (5x+2 ಸೆಂ . ಮೀ . , ಅಗಲ (5x-1) ಸೆಂ . ಮೀ . , ಎತ್ತರ (5x+3) ಸೆಂ . ಮೀ . ಇದ್ದರೆ ಘನಫಲವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ .

ಅಭ್ಯಾಸ: ಈ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಬಿಡಿಸಿ(x =23 ,ಇನ್ನೊಂದು ಸಂಖ್ಯೆ = 9)

ಸಮಸ್ಯೆ 9: x 2 -9/( x 2 +5) = -5/9 ಆಗಿರುವ ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿ x ನ ಧನಾತ್ಮಕ ಬೆಲೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

ಪರಿಹಾರ:

ದತ್ತಾಂಶದಂತೆ x 2 -9/( x 2 +5) = -5/9

ಅಡ್ಡ ಗುಣಾಕಾರ ಮಾಡಿದಾಗ 9(x 2 -9) = -5(x 2 +5)

ಸಂಕ್ಷೇಪಿಸಿದಾಗ 9x 2 -81 = -5x 2 -25

ಸ್ಥಾನ ಬದಲಾಯಿಸಿದಾಗ 14x 2 = 56

x 2 = 4

x = +2 ಅಥವಾ -2

ತಾಳೆ:

ದತ್ತ ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿ x=2 ನ್ನು ಆದೇಶಿಸಿದಾಗ, LHS = -5/9 = RHS, ಆದ್ದರಿಂದ ಇದು ಸರಿಯಾದ ಪರಿಹಾರ.

ಸಮಸ್ಯೆ 10: ದುಂಬಿಗಳ ಸಮೂಹದಲ್ಲಿ 1/5 ರ ಭಾಗ ಕದಂಬ ವೃಕ್ಷಕ್ಕೂ, 1/3 ನೇ ಭಾಗ ಶಿಲೀಂಧ್ರಕ್ಕೂ ಹೊರಟವು. ಅವೆರಡರ ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ಮೂರರಷ್ಟು ಕುಟಜ ವೃಕ್ಷಕ್ಕೂ ಹೋದ ಮೇಲೆ ಉಳಿದ ಒಂದೇ ಒಂದು ದುಂಬಿಯು ಕೇತಕಮಾಲತೀ ಪುಷ್ಪದ ಸುಗಂಧದಿಂದ ಆಕರ್ಷಿಸಲ್ಪಟ್ಟು ಆಕಾಶದಲ್ಲಿ ಹಾರಾಡುತ್ತಿತ್ತು. ಹಾಗಾದರೆ ಎಲೈ ಲೀಲಾವತಿ, ದುಂಬಿಗಳ ಒಟ್ಟು ಸಂಖ್ಯೆಎಷ್ಟು? (ಲೀಲಾವತಿ ಶ್ಲೋಕ 56)

ಪರಿಹಾರ:

ಒಟ್ಟು ಸಂಖ್ಯೆ x ಇರಲಿ.

ಹಂತ

ಎಲ್ಲಿಗೆ

ಎಷ್ಟು

1

ಕದಂಬಕ್ಕೆ

(x/5)

2

ಶಿಲೀಂಧ್ರಕ್ಕೆ

(x/3)

3

ಮೇಲಿನವುಗಳ ವ್ಯತ್ಯಾಸ

(x/3) – (x/5) = (2x/15)

4

ಕುಟಜಕ್ಕೆ

3*(2x/15)=(2x/15)

5

ಉಳಿದದ್ದು

1

x- {(x/5)+(x/3)+(2x/5) =1

{15x-(3x+5x+6x)/15} =1

x=15

ತಾಳೆ:

ಕದಂಬಕ್ಕೆ 3 , ಶಿಲೀಂಧ್ರಕ್ಕೆ 5 , ಕುಟಜಕ್ಕೆ 6 { =3*(5-3)} ಉಳಿದದ್ದು 1

ಸಮಸ್ಯೆ 11: ಒಬ್ಬ ಯಾತ್ರಿಕನು ತನ್ನ ಹಣದ ಅರ್ಧ ಭಾಗವನ್ನು ಪ್ರಯಾಗದಲ್ಲಿಯೂ, ಉಳಿದುದರ 2/9 ಭಾಗವನ್ನು ಕಾಶಿಯಲ್ಲಿಯೂ, ಉಳಿದುದರ 1/4 ಭಾಗವನ್ನು ತೆರಿಗೆಗಳಿಗೂ, ಇನ್ನುಳಿದುದರ 6/10 ಭಾಗವನ್ನು ಗಯೆಯಲ್ಲಿಯೂಖರ್ಚುಮಾಡಿದ ನಂತರ ಉಳಿದ 63 ನಿಷ್ಕಗಳನ್ನು(ಹಣದ ಅಳತೆ) ಮನೆಗೆ ತಂದರೆ, ಯಾತ್ರೆಗೆ ತೆಗೆದು ಕೊಂಡು ಹೋದ ಹಣ ಎಷ್ಟು?(ಲೀಲಾವತಿ ಶ್ಲೋಕ 55)

ಪರಿಹಾರ:

ಒಟ್ಟು ಸಂಖ್ಯೆ x ಇರಲಿ.

ಹಂತ

ಎಲ್ಲಿ/ಏತಕ್ಕೆ

ಎಷ್ಟು

ನಂತರ ಉಳಿದದ್ದು

1

ಪ್ರಯಾಗ

(x/2)

x-(x/2) = (x/2)

2

ಕಾಶಿ

(2/9)*(x/2)=(x/9)

(x/2)-(x/9) = (7x/18)

3

ತೆರಿಗೆ

(1/4)*(7x/18) =(7x/72)

(7x/18) - (7x/72)= (21x/72) =(7x/24)

4

ಗಯೆ

(6/10)*(7x/24)=(7x/40)

(7x/24)- (7x/40) ={(35x-21x)/120}=(7x/60)

5

ಉಳಿದದ್ದು

63

(7x/60) =63

x=540

ತಾಳೆ:

ನೀವೇ ಮಾಡಿ

ಬೀಜೋಕ್ತಿಗಳ ಅಪವರ್ತಿಸುವಿಕೆ ನಾವು ಈಗಾಗಲೇ ಕೆಲವು ಬೀಜೋಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಅಪವರ್ತಿಸಲು ಕಲಿತಿದ್ದೇವೆ.

ಉದಾ:

ಸಂ.

ಬೀಜೋಕ್ತಿ

ಅಪವರ್ತನಗಳು

1

(p-q) 2 - 3(p-q)

(p-q){(p-q)-3}

2

2x(a-4b)+3y(a-4b)

(a-4b)(2x+3y)

3

m 2 (pq+r)+mn(pq+r)+ n 2 (pq+r)

(pq+r) (m 2 +mn+ n 2 )

ಪಾಠ 2.5 ರಲ್ಲಿ px 2 +mx +c ರೂಪದ ಬೀಜೋಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಅಪವರ್ತಿಸಿದ್ದೇವೆ.

ನಿತ್ಯಸಮೀಕರಣಗಳು / ಸೂತ್ರಗಳನ್ನುಪಯೋಗಿಸಿ ಅಪವರ್ತಿಸುವುದು (Factorisation using identities/formulae):

ಪಾಠ 2.3 ರಲ್ಲಿ ಕೆಳಗಿನ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ನೋಡಿದ್ದೇವೆ.

ಕ್ರ. ಸಂ.

ಸಮೀಕರಣ

ವಿಸ್ತರಣೆ

ಅಪವರ್ತನಗಳು

1

(a+b) 2

a 2 +b 2 +2ab

(a+b) ಮತ್ತು (a+b)

2

(a-b) 2

a 2 +b 2 -2ab

(a-b) ಮತ್ತು (a-b)

3

(a+b)(a-b)

a 2 -b 2

(a+b) ಮತ್ತು (a-b)

4

(x+a)*(x+b)

x 2 +x(a+b)+ab

(x+a) ಮತ್ತು (x+b)

ಸಮಸ್ಯೆ 1 : ನಿತ್ಯ ಸಮೀಕರಣವನ್ನುಪಯೋಗಿಸಿ ಅಪವರ್ತಿಸಿ 9p 2 +12pq +4q 2

ಪರಿಹಾರ:

ದತ್ತ ಬೀಜೋಕ್ತಿಯನ್ನು 9p 2 +4q 2 +12pq. ಎಂದು ಬರೆಯುವಾ. ಇದು a 2 +b 2 +2ab ರೂಪದಲ್ಲಿದೆ. a 2 = 9p 2 , b 2 = 4q 2 , 2ab=12pq

9p 2 = 3p*3p =(3p) 2

4q 2 = 2q*2q= (2q) 2

12pq = 2*3p*2q

a=3p and b=2q

ದತ್ತ ಬೀಜೋಕ್ತಿಯನ್ನು a 2 +b 2 +2ab ರೂಪದಲ್ಲಿರುವುದರಿಂದ, ಅದರ ಅಪವರ್ತನಗಳು: (a+b) ಮತ್ತು (a+b)

ದತ್ತ ಬೀಜೋಕ್ತಿಯ ಅಪವರ್ತನಗಳು: (3p+2q) ಮತ್ತು (3p+2q)

ತಾಳೆ:

(3p+2q)(3p+2q)

=3p(3p+2q)+2q(3p+2q) (ಪ್ರತೀ ಪದವನ್ನು ಗುಣಿಸಿರಿ.)

=9p 2 +6pq +6qp+4q 2 (ಸಂಕ್ಷೇಪಿಸಿದಾಗ.)

= 9p 2 +12pq +4q 2 - ಇದು ದತ್ತ ಬೀಜೋಕ್ತಿ

ಸಮಸ್ಯೆ 2: ಸೂಕ್ತ ಸಮೀಕರಣದ ಸಹಾಯದಿಂದ 36x 2 -60x +25 ಅಪವರ್ತಿಸಿ.

ಪರಿಹಾರ:

ದತ್ತ ಬೀಜೋಕ್ತಿ: 36x 2 +25-60x. E°è a 2 = 36x 2 , b 2 = 25=5 2 ಮತ್ತು -2ab=-60x

(6x) 2 +(5) 2 -2*6x*5

ಇದು a 2 +b 2 -2ab ರೂಪದಲ್ಲಿದೆ. a=6x ,b=5.

ದತ್ತ ಬೀಜೋಕ್ತಿಯ ಅಪವರ್ತನಗಳು: (a-b) ,(a-b).

= (6x-5) ಮತ್ತು (6x-5).

ತಾಳೆ:

(6x-5) (6x-5)

=6x(6x-5)-5(6x-5) (ಪ್ರತೀ ಪದವನ್ನು ಗುಣಿಸಿರಿ.)

=36x 2 -30x -30x+25 (ಸಂಕ್ಷೇಪಿಸಿದಾಗ)

= 36x 2 -60x +25 - ದತ್ತ ಬೀಜೋಕ್ತಿ

ಸಮಸ್ಯೆ 3 : ಸೂಕ್ತ ಸಮೀಕರಣ ಉಪಯೋಗಿಸಿ ಅಪವರ್ತಿಸಿ: (x+2) 2 +18(x+2) +81.

ಪರಿಹಾರ:

ದತ್ತ ಬೀಜೋಕ್ತಿ ಯನ್ನು ಹೀಗೆ ಬರೆಯುವಾ: (x+2) 2 +81+18(x+2).

ಇದು a 2 +b 2 +2ab ರೂಪದಲ್ಲಿದೆ. a 2 = (x+2) 2 , b 2 = 81=9 2

2ab=18(x+2)

a=(x+2),b=9 2ab = 2(x+2)*9 =18(x+2)

ದತ್ತ ಬೀಜೋಕ್ತಿಯ ಅಪವರ್ತನಗಳು: a 2 +b 2 +2ab ರೂಪದಲ್ಲಿರುವುದರಿಂದ ಅದರ ಅಪವರ್ತನಗಳು: (a+b) ಮತ್ತು (a+b)

ದತ್ತ ಬೀಜೋಕ್ತಿಯ ಅಪವರ್ತನಗಳು: (x+2+9) (x+2+9)

=(x+11) ಮತ್ತು (x+11)

ತಾಳೆ:

(x+11) ನ್ನ (x+11) ರಿಂದ ಗುಣಿಸಿ, ದತ್ತ ಬೀಜೋಕ್ತಿಯನ್ನು ವಿಸ್ತರಿಸಿ, ತಾಳೆನೋಡಿ.

ಸಮಸ್ಯೆ 4: ಸೂಕ್ತ ಸಮೀಕರಣ ಉಪಯೋಗಿಸಿ ಅಪವರ್ತಿಸಿ: p 4 /16- q 2 /64

ಪರಿಹಾರ:

ದತ್ತ ಬೀಜೋಕ್ತಿಯು a 2 -b 2 ರೂಪದಲ್ಲಿದೆ.

a 2 = p 4 /16= (p 2 /4) 2 , b 2 = q 2 /64 = (q/8) 2

a=p 2 /4 ,b=q/8.

ದತ್ತ ಬೀಜೋಕ್ತಿಯು a 2 -b 2 ರೂಪದಲ್ಲಿರುವುದರಿಂದ, ಅದರ ಅಪವರ್ತನಗಳು (a+b) ಮತ್ತು (a-b).

ದತ್ತ ಬೀಜೋಕ್ತಿಯ ಅಪವರ್ತನಗಳು: (p 2 /4+q/8) ಮತ್ತು (p 2 /4-q/8).

ತಾಳೆ:

(p 2 /4+q/8)(p 2 /4-q/8)

=p 2 /4(p 2 /4-q/8)+q/8(p 2 /4-q/8) (ಪ್ರತೀ ಪದವನ್ನು ಗುಣಿಸಿರಿ.)

=(p 2 /4) 2 -p 2 q/32 +qp 2 /32 –(q/8) 2 (ಸಂಕ್ಷೇಪಿಸಿದಾಗ.)

= p 4 /16- q 2 /64 - ದತ್ತ ಬೀಜೋಕ್ತಿ

2.8.1 ಸಮಸ್ಯೆ 5: ನಿತ್ಯಸಮೀಕರಣದಿಂದ ಅಪವರ್ತಿಸಿ: 8(x+1/x) 2 -18(x-1/x) 2

ಪರಿಹಾರ:

8 ಮತ್ತು 18 ಇವೆರಡೂ ಪೂರ್ಣವರ್ಗಗಳಲ್ಲ

ಆದರೆ 8 =2*4 , 18 =2*9.

4=2 2 9=3 3

8(x+1/x) 2 -18(x-1/x) 2 = 2 {4(x+1/x) 2 -9(x-1/x) 2 }.

ಈಗ 4(x+1/x) 2 -9(x-1/x) 2 ಇದು a 2 -b 2 ರೂಪದಲ್ಲಿದೆ.

a 2 = 4(x+1/x) 2 =(2(x+1/x)) 2

b 2 =(3(x-1/x)) 2

ಈಗ a=2(x+1/x) , b=3(x-1/x)

ಬೀಜೋಕ್ತಿಯು a 2 -b 2 ರೂಪದಲ್ಲಿರುವುದರಿಂದ, ಅಪವರ್ತನಗಳು (a+b) , (a-b)

ದತ್ತ ಬೀಜೋಕ್ತಿಯ ಅಪವರ್ತನಗಳು: (2(x+1/x) + 3(x-1/x)) ಮತ್ತು (2(x+1/x) - 3(x-1/x))

ಇಲ್ಲಿ 2 ಸಾಮಾನ್ಯ ಅಪವರ್ತನ.

ದತ್ತ ಬೀಜೋಕ್ತಿಯ ಅಪವರ್ತನಗಳು: 2 , (2(x+1/x) + 3(x-1/x))

(2(x+1/x) - 3(x-1/x))

ಅಭ್ಯಾಸ: ತಾಳೆ ನೋಡಿ: 2(2(x+1/x) + 3(x-1/x))(2(x+1/x) - 3(x-1/x))= 8(x+1/x) 2 -18(x-1/x) 2

ಸಮಸ್ಯೆ 6: ಎರಡು ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ವರ್ಗಗಳ ವ್ಯತ್ಯಾಸ 400. ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ವ್ಯತ್ಯಾಸ 8 ಆದರೆ, ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಯಾವುವು? (ಲೀಲಾವತಿ: ಶ್ಲೋಕ 59)

ಸಂಖ್ಯೆಗಳು x,y ಆಗಿರಲಿ. ಆಗ

x 2 -y 2 =400

x-y= 8 ( x= y+8) ------(1)

x 2 -y 2 = (x+y)*(x –y) {a 2 -b 2 =(a+b)*(a-b)}

= 8(x+y) ( x-y =8)

400 = 8(x+y) ( x 2 -y 2 =400)

(x+y) = 50 ( 8 ರಿಂದ ಭಾಗಿಸಿ)

y+8+y =50 ( (1) ರಂತೆ)

2y = 42 (ಸುಲಭೀಕರಿಸಿ)

y =21

x= 29 ( (1) ರಂತೆ)

ಅಭ್ಯಾಸ:

29-21 =8

29 2 -21 2 = ??

ಮೂರು ದ್ವಿಪದೋಕ್ತಿಗಳ ಗುಣಲಬ್ಧ

(x+a)*(x+b) = x 2 +x(a+b)+ab - ಈಗಾಗಲೇ ನೋಡಿದ್ದೇವೆ.

ಈಗ ಮೂರು ದ್ವಿಪದೋಕ್ತಿಗಳು: (x+a)*(x+b)*(x+c) ಯ ಗುಣಲಬ್ಧ ನೋಡುವಾ.

(x+a)*(x+b)*(x+c)

= {(x+a)*(x+b)}*(x+c)

= {x 2 +x(a+b)+ab}*(x+c)

= x 2 (x+c)+x(a+b)*(x+c) + ab(x+c) ({x 2 +x(a+b)+ab} ರ ಪ್ರತೀ ಪದವನ್ನು (x+c) ಯ ಪ್ರತೀಪದದೊಂದಿಗೆ ಗುಣಿಸಿದೆ.)

= x 3 + x 2 c + x(a+b)*x+x(a+b)*c + abx+abc ( x(a+b) ರ ಪ್ರತೀ ಪದವನ್ನು (x+c) ಯ ಪ್ರತೀಪದದೊಂದಿಗೆ ಗುಣಿಸಿದೆ.))

= x 3 + x 2 c + x 2 (a+b)+x(a+b)*c + abx+abc ವಿಸ್ತರಿಸಿದಾಗ.)

= x 3 + x 2 (c+a+b)+xac+xbc + abx+abc ವಿಸ್ತರಿಸಿ,ಸುಲಭೀಕರಿಸಿದಾಗ.)

= x 3 + x 2 (a+b+c)+x(ac+bc+ ab)+abc ಸುಲಭೀಕರಿಸಿದಾಗ.)

= x 3 + (a+b+c) x 2 +(ab+bc+ca)x+abc ಪುನರ್ಜೋಡಣೆ.)

ಮೇಲಿನ ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿ b=a , c=a ಹಾಕುವಾ.

ಆಗ, (x+a)(x+a)(x+a) = x 3 + (a+a+a) x 2 +(a*a+a*a+a*a)x+a*a*a

= x 3 + 3ax 2 +3a 2 x+ a 3

= x 3 + 3ax(x+a)+ a 3

ಈಗ x ನ್ನa ಯಿಂದಲೂ, a ಯನ್ನು b ಯಿಂದಲೂ (a+b) 3 = a 3 + 3ab(a+b)+ b 3

‘b’ ಇರುವಲ್ಲಿ (–b) ಯನ್ನು ಆದೇಶಿಸಿದರೆ,

(a-b) 3 = a 3 + 3a*-b(a-b)+ (-b) 3

= a 3 -3ab(a-b)-b 3

ಸಮಸ್ಯೆ 1: 1.05*0.97*.98 ರ ಬೆಲೆ ಕಂಡುಹಿಡಿ

ಪರಿಹಾರ:

1.05 = 1+.05, 0.97 = 1-0.03 , 0.98 = 1-0.02.

x=1 and a=.05, b=-0.03 ಮತ್ತು c= -0.02

ದತ್ತಪದಗಳ ಗುಣಲಬ್ಧವನ್ನು (x+a)(x+b)(x+c) ರೂಪದಲ್ಲಿ ಬರೆಯಬಹುದು.

(x+a)(x+b)(x+c) = x 3 + (a+b+c) x 2 +(ab+bc+ca)x+abc

1.05*0.97*.98

= 1 3 + (0.05-0.03-0.02) 1 2 +((0.05*-0.03) (–0.03* -0.02)(-0.02*0.05))1+ 0.05*-0.03*-0.02

= 1+ 0 1 2 +(-0.0015+0.0006-0.0010)1+ 0.000030

= 1- 0.0019+0.00003 =0.998130

ತಾಳೆ:

ಕ್ಯಾಲ್ಕ್ಯುಲೇಟರ್ ಉಪಯೋಗಿಸಿ ತಾಳೆನೋಡಿ: 1.05*0.97*0.98 = 0.998130.

ಸಮಸ್ಯೆ 2 : ಒಂದು ಘನಾಕೃತಿಯ ಉದ್ದ.(5x+2 ಸೆಂ.ಮೀ., ಅಗಲ (5x-1) ಸೆಂ.ಮೀ., ಎತ್ತರ (5x+3) ಸೆಂ.ಮೀ.ಇದ್ದರೆ ಘನಫಲವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

ಪರಿಹಾರ:

ಘನಾಕೃತಿಯ ಗಾತ್ರ = ಉದ್ದ*ಅಗಲ*ಎತ್ತರ.

ದತ್ತ ಘನಾಕೃತಿಯ ಗಾತ್ರ =(5x+2)(5x-1)(5x+3) ಘ.ಸೆಂ.ಮೀ.

ಇದು (x+a)(x+b)(x+c) ರೂಪದಲ್ಲಿದೆ.

x=5x , a=2, b=-1 , c=3

ಸೂತ್ರ:

(x+a)(x+b)(x+c)= x 3 + (a+b+c) x 2 +(ab+bc+ca)x+abc

= (5x) 3 + (2-1+3) (5x) 2 +(-2-3+6)(5x)+ 2*-1*3, = 125x 3 + 100x 2 +5x-6

ತಾಳೆ:

xಗೆ ಒಂದು ಬೆಲೆ (=2) ಕೊಡುವಾ

ಆಗ,

1. 5x+2=5*2+2=12

2. 5x-1 =5*2-1=9

3. 5x+3 =5*2+3= 13

125x 3 + 100x 2 +5x- 6 = 125*8+100*4+5*2-6

= 1000+400+10-6=1404

(5x+2)(5x-1)(5x+3)

=12*9*13 = 1404

ಘನಾಕೃತಿಯ ಘನಫಲ = ಉದ್ದ* ಅಗಲ*ಎತ್ತರ.

=12*9*13

= 1404 ಘ.ಸೆಂ.ಮೀ.

ಇದರಿಂದ (x+a)(x+b)(x+c)= x 3 + (a+b+c) x 2 +(ab+bc+ca)x+abc ಎಂದು ತಿಳಿಯಬಹುದು,ಹಾಗೂ

1. (a+b+c) x 2 x 2 ನ ಸಹಗುಣಕ (a+b+c)

2. (ab+bc+ca)x ರಲ್ಲಿ x ನ ಸಹಗುಣಕ (ab+bc+ca) ಎಂದು ಗಮನಿಸಬಹುದು.

ಸಮಸ್ಯೆ 3: (3x-1)(3x-1)(3x+4) ರಲ್ಲಿ x 2 ಮತ್ತು x ನ ಸಹಗುಣಕವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

ಪರಿಹಾರ:

ಗುಣಲಬ್ಧವು (x+a)(x+b)(x+c) ರೂಪದಲ್ಲಿದೆ. x=3x , a=-1, b=-1 , c=4

ಆದ್ದರಿಂದ ಗುಣಲಬ್ಧವನ್ನು (x+a)(x+b)(x+c) ರೂಪದಲ್ಲಿ ಬರೆಯಬಹುದು.

ಸೂತ್ರ:: (x+a)(x+b)(x+c)= x 3 + (a+b+c) x 2 +(ab+bc+ca)x+abc

= (3x) 3 +(a+b+c)(3x) 2 + (ab+bc+ca)(3x)+abc (x=3x ಎಂದು ಆದೇಶಿಸಿದಾಗ)

1.(a+b+c)(3x) 2 ನಲ್ಲಿ x 2 ನ ಸಹಗುಣಕ: (a+b+c)*9. a,b ,c ಗಳ ಬೆಲೆಗಳನ್ನು ಆದೇಶಿಸಿದಾಗ,

(a+b+c)*9

= (-1-1+4)*9

= 18

2. (ab+bc+ca)(3x) ನಲ್ಲಿ x ನ ಸಹಗುಣಕ (ab+bc+ca)*3. a,b ,c ಗಳ ಬೆಲೆಗಳನ್ನು ಆದೇಶಿಸಿದಾಗ,

(ab+bc+ca)*3

= (1-4-4)*3

= -21

ತಾಳೆ:

(3x-1)(3x-1)(3x+4) ನ್ನು ವಿಸ್ತರಿಸಿ ಸಹಗುಣಕಗಳನ್ನು ತಾಳೆನೋಡಿ.

ನಾವು ಈ ಹಿಂದೆ ಕಲಿತ ಸೂತ್ರ:

(a+b) 3 = a 3 + 3ab(a+b)+ b 3

(a+b) 3 -3ab(a+b) = a 3 + b 3 (ವರ್ಗಾಯಿಸಿದೆ.)

i,e a 3 + b 3

=(a+b) 3 -3ab(a+b)

= (a+b){ (a+b) 2 -3ab}

= (a+b) { a 2 +b 2 +2ab -3ab}((a+b) 2 ನ್ನು ವಿಸ್ತರಿಸಿದಾಗ.)

= (a+b) (a 2 +b 2 -ab)

‘b’ ಗೆ ಬದಲಾಗಿ (–b) ಯನ್ನು ಆದೇಶಿಸಿದಾಗ,

a 3 + (-b) 3 = (a+-b) (a 2 +(-b) 2 -a*(-b))

= (a-b) (a 2 +b 2 +ab)

ಆದರೆ, a 3 + (-b) 3 = a 3 -b 3

a 3 -b 3 = (a-b) (a 2 +b 2 +ab)

ಸಮಸ್ಯೆ 4: ಅಪವರ್ತಿಸಿ: 0.027 p 3 +0.008 q 3

ಪರಿಹಾರ:

0.3*0.3*0.3=0.027 , 0.2*0.2*0.2=0.008

a 3 +b 3 =(a+b) (a 2 +b 2 -ab) ಸೂತ್ರದಲ್ಲಿ

a=0.3p , b= 0.2q

0.027 p 3 +0.008 q 3

= (0.3p+0.2q) ((0.3p) 2 +(0.2q) 2 -0.3p*0.2q)

= (0.3p+0.2q) (0.09p 2 +0.04q 2 -0.06pq)

ತಾಳೆ:

(p ಮತ್ತು q ಗಳ ಒಂದು ಬೆಲೆಗೆ)

p=1 , q=1, ಆಗಿರಲಿ.

ಆಗ, (0.3p+0.2q) (0.09p 2 +0.04q 2 -0.06pq)

= 0.5*(0.09+0.04-0.06) = 0.5*0.07 = 0.035

ದತ್ತ ಬೀಜೋಕ್ತಿ: 0.027 p 3 +0.008 q 3

=0.027+0.008 =0.035

ಎರಡೂ ವಿಧಾನಗಳಿಂದ ಫಲಿತಾಂಶ ಒಂದೇ ಇರುವುದರಿಂದ,ನಮ್ಮ ಪರಿಹಾರ ಸರಿಯಿದೆ ಎಂದು ತಿಳಿಯಬಹುದು

ಸಮಸ್ಯೆ 5: ಅಪವರ್ತಿಸಿ 125 -1/ a 3 b 3

ಪರಿಹಾರ:

125 = 5 3 , 1/ a 3 b 3 =(1/ ab) 3

a 3 -b 3 ಸೂತ್ರದಲ್ಲಿ, ಇಲ್ಲಿ a=5 , b= 1/ab

a 3 -b 3 =(a-b) (a 2 +b 2 +ab) ಉಪಯೋಗಿಸಿ,a ಮತ್ತು b ಯ ಬೆಲೆಗಳನ್ನು ಆದೇಶಿಸಿದಾಗ,

125 -1/ a 3 b 3

= (5 -1/ab) (5 2 +(1/ab) 2 +5*1/ab)

= (5 -1/ab) (25 +1/a 2 b 2 +5/ab)

ತಾಳೆ:

(a ಮತ್ತು bಗಳ ಒಂದು ಬೆಲೆಗೆ)

a=1 ,b=2, ಆಗಿರಲಿ.

(5 -1/ab) (25 +1/a 2 b 2 +5/ab)

=(5-1/2)(25+1/4+5/2) =124.875(ಕ್ಯಾಲ್ಕ್ಯುಲೇಟರನ್ನು ಉಪಯೋಗಿಸಿ.)

ದತ್ತ ಬೀಜೋಕ್ತಿ: 125 -1/ a 3 b 3

= 125-1/8= 124.875 (ಕ್ಯಾಲ್ಕ್ಯುಲೇಟರನ್ನು ಉಪಯೋಗಿಸಿ.)

ಎರಡೂ ವಿಧಾನಗಳಿಂದ ಫಲಿತಾಂಶ ಒಂದೇ ಇರುವುದರಿಂದ,ನಮ್ಮ ಪರಿಹಾರ ಸರಿಯಿದೆ ಎಂದು ತಿಳಿಯಬಹುದು.

ಕಲಿತ ಸಾರಾಂಶ ಸಂ.

ಸೂತ್ರ

ವಿಸ್ತರಣೆ

ಅಪವರ್ತನಗಳು

1

(a+b) 2

a 2 +b 2 +2ab

(a+b) ಮತ್ತು (a+b)

2

(a-b) 2

a 2 +b 2 -2ab

(a-b ಮತ್ತು (a-b)

3

(a+b)(a-b)

a 2 -b 2

(a+b) ಮತ್ತು (a-b)

4

(x+a)*(x+b)

x 2 +x(a+b)+ab

(x+a) ಮತ್ತು (x+b)

5

(x+a)(x+b)(x+c)

x 3 + (a+b+c)x 2 +(ab+bc+ca)x+abc

(x+a),(x+b) ಮತ್ತು (x+c)

6

(a+b) 3

a 3 +b 3 +3ab(a+b)

(a+b),(a+b) ಮತ್ತು (a+b)

7

(a-b) 3

a 3 -b 3 -3ab(a-b)

(a-b),(a-b) ಮತ್ತು (a-b)

8

a 3 +b 3

(a+b) (a 2 +b 2 -ab)

(a+b) ಮತ್ತು (a 2 +b 2 -ab)

9

a 3 -b 3

(a-b) (a 2 +b 2 +ab)

(a-b) ಮತ್ತು (a 2 +b 2 +ab)

ಬೀಜೋಕ್ತಿಗಳ ಮ.ಸಾ.ಅ & ಲ.ಸಾ.ಅ ಯಾವುದೇ ಬೀಜೋಕ್ತಿಗಳ ಮ.ಸಾ.ಅ ಮತ್ತು ಲ.ಸಾ.ಅ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ನಾವು ಭಾಗಾಕಾರ ಕ್ರಮವನ್ನು ಅನುಸರಿಸುವುದನ್ನು ಈಗಾಗಲೇ ಪಾಠ 2.5 ರಲ್ಲಿ ಕಲಿತಿದ್ದೇವೆ

ಸಮಸ್ಯೆ 1: (p+3) 3 , 2p 3 +54+18p(p+3), (p 2 +6p+9) ಇವುಗಳ ಮ.ಸಾ.ಅ ಮತ್ತು ಲ.ಸಾ.ಅ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

ಪರಿಹಾರ:

ಹಂತ 1: ಎಲ್ಲಾ ಬೀಜೋಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಮೊದಲಿಗೆ ಅಪವರ್ತಿಸಿರಿ.

1. (p+3) 3 – ಇದರ ಅಪವರ್ತನಗಳು: (p+3),(p+3) ಮತ್ತು (p+3)

2. ಈಗ 2ನೇ ಪದವನ್ನು ಅಪವರ್ತಿಸುವಾ.

2p 3 +54+18p(p+3)

= 2(p 3 +27)+18p(p+3)

= 2*(p+3)( p 2 +9-3p)+18p(p+3), [(p 3 +27) ಇದು a 3 +b 3 ರೂಪದಲ್ಲಿದೆ. a=p , b=3, a 3 +b 3 =(a+b) (a 2 +b 2 -ab)]

=(p+3)*((2*(p 2 +9-3p))+18p)

= (p+3) *2*( p 2 +9-3p+9p)

=2(p+3)( p 2 +9+6p) [ (p 2 +9+6p ಇದು ( a 2 + b 2 +2ab) ರೂಪದಲ್ಲಿದೆ. a=p , b=3, ( a 2 + b 2 +2ab)= (a+b) 2 ]

= 2(p+3)(p+3) 2

2p 3 +54+18p(p+3) ಯ ಅಪವರ್ತನಗಳು: 2, (p+3),(p+3),(p+3)

3. (p 2 +6p+9) =(p+3) 2 -- (ಮೇಲೆ ನೋಡಿದೆ.)

(p 2 +6p+9) ಈ ಬೀಜೋಕ್ತಿಯ ಅಪವರ್ತನಗಳು: (p+3) 2

ಹಂತ 2: ಈಗ ಮ.ಸಾ.ಅ. ಮತ್ತು ಲ.ಸಾ.ಅ ನೋಡಲು ಭಾಗಾಕಾರ ಕ್ರಮವನ್ನು ಬಳಸಿ.

ದತ್ತ ಬೀಜೋಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಹೀಗೆ ಬರೆಯಬಹುದು: ( p+3)(p+3)(p+3), 2(p+3)(p+3)(p+3), (p+3)(p+3)

ಮೇಲಿನವುಗಳ ಸಾಮಾನ್ಯ ಅಪವರ್ತನ ( p+3)ಆಗಿರುವುದರಿಂದ ( p+3)ನಿಂದಲೇ ಭಾಗಾಕಾರ ಮಾಡೋಣ

(p+3) | ( p+3)(p+3)(p+3), 2(p+3)(p+3)(p+3), (p+3)(p+3)

(p+3) | (p+3)(p+3), 2(p+3)(p+3), (p+3)

(p+3), 2(p+3) 1

ಇನ್ನು ಎಲ್ಲಾವುದಕ್ಕೂಸಾಮಾನ್ಯ ಭಾಜಕಗಳು ಇಲ್ಲ. ಆದ್ದರಿಂದ ಭಾಗಾಕಾರವನ್ನು ಇಲ್ಲಿಗೇ ನಿಲ್ಲಿಸಿ.

ಆದ್ದರಿಂದ ಮ.ಸಾ.ಅ = (p+3)(p+3)= (p+3) 2

ಮತ್ತು

(p+3) | ( p+3)(p+3)(p+3), 2(p+3)(p+3)(p+3), (p+3)(p+3)

(p+3) | (p+3)(p+3), 2(p+3)(p+3), (p+3)

(p+3) | (p+3), 2(p+3) 1

1, 2, 1

ಇನ್ನು ಎಲ್ಲಾವುದಕ್ಕೂ ಸಾಮಾನ್ಯ ಭಾಜಕಗಳು ಇಲ್ಲದುದರಿಂದ ಭಾಗಾಕಾರ ಇಲ್ಲಿಗೇ ಮುಗಿಯಿತು.

ಲ.ಸಾ.ಅ = (p+3)(p+3)(p+3)*1*2*1 = 2(p+3) 3

ತಾಳೆ:

p=2 ಬೆಲೆ ಆದೇಶಿಸಿ ತಾಳೆನೋಡುವಾ

ಮ.ಸಾ.ಅ = (p+3) 2 = (2+3) 2 =25

ಲ.ಸಾ.ಅ = 2(p+3) 3 = 2(2+3) 3 = 2*125=250

ದತ್ತ ಬೀಜೋಕ್ತಿಗಳು: (p+3) 3 , 2p3+54+18p(p+3), (p 2 +6p+9)

(2+3) 3 , (2*2 3 +54+18*2(2+3)), (2 2 +6*2+9)

= {125, 250,25}

ಇವುಗಳ ಮ.ಸಾ.ಅ =25 , ಲ.ಸಾ.ಅ =250 ಪರಿಹಾರ ಸರಿಯಾಗಿದೆ.

ಸಮಸ್ಯೆ 2: 10(x 2 -y 2 ), 15(x 2 -2xy+y 2 ), 20(x 3 - y 3 ), 5(-3x +3y) ಗಳ ಮ.ಸಾ.ಅ ಮತ್ತು ಲ.ಸಾ.ಅ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

ಪರಿಹಾರ:

ಹಂತ 1: ಮೊತ್ತ ಮೊದಲಿಗೆ ದತ್ತ ಬೀಜೋಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಅಪವರ್ತಿಸಬೇಕು.

1. ಮೊದಲ ಬೀಜೋಕ್ತಿ: 10(x 2 -y 2 ) ಇದರಲ್ಲಿ (x 2 -y 2 ) ವು (a 2 -b 2 ) ರೂಪದಲ್ಲಿದೆ.

ಅದರ ಅಪವರ್ತನಗಳು: (a+b) (a-b):

10(x 2 -y 2 )=10(x+y)(x-y)

2. ಎರಡನೇ ಬೀಜೋಕ್ತಿ: 15(x 2 -2xy+y 2 )

ಇದರಲ್ಲಿ (x 2 -2xy+y 2 ) ವು (a 2 -2ab+b 2 ) ರೂಪದಲ್ಲಿದೆ. ಇದರ ಅಪವರ್ತನಗಳು (a-b) ಮತ್ತು (a-b)

15(x 2 -2xy+y 2 )= 15(x-y) (x-y)

3. ಮೂರನೇ ಬೀಜೋಕ್ತಿ: 20, (x 3 -y 3 ): 20, (x-y), (x 2 +y 2 +xy)

4. ನಾಲ್ಕನೇ ಬೀಜೋಕ್ತಿ: 5*-3(x-y) = 5*(-3)(x-y)=-15, (x-y)

ಹಂತ 2: ಭಾಗಾಕಾರ ಕ್ರಮವನ್ನು ಬಳಸಿ.

ಇಲ್ಲಿ ಅಪವರ್ತನಗಳು 5 ಮತ್ತು (x-y) ಆಗಿರುವುದರಿಂದ ಇವೆರಡರಿಂದ ಜೊತೆಯಾಗಿ ಭಾಗಾಕಾರ ಮಾಡೋಣ.

5 (x-y) | 10(x+y) (x-y), 15(x-y) (x-y), 20(x-y)(x 2 +y 2 +xy), -15(x-y)

2(x+y), 3(x-y), 4(x 2 +y 2 +xy), -3

ಸಾಮಾನ್ಯ ಅಪವರ್ತನಗಳು ಇನ್ನಿಲ್ಲ.

ಮ.ಸಾ.ಅ = 5(x-y)

ಈಗ ಲ.ಸಾ.ಅ ಕಂಡು ಹಿಡಿಯಲು ಪುನ: 5(x-y) ರಿಂದ ಭಾಗಿಸಬೇಕು.

5(x-y) | 10(x+y) (x-y), 15(x-y) (x-y), 20(x-y)(x 2 +y 2 +xy), -15(x-y)

2| 2(x+y), 3(x-y), 4(x 2 +y 2 +xy), -3 (ಸಾಮಾನ್ಯ ಪದಗಳು ಇರುವರೆಗೂ ನಾವು ಭಾಗಾಕಾರ ಮಾಡೋಣ.)

3| (x+y), 3(x-y), 2(x 2 +y 2 +xy), -3

(x+y), (x-y), 2(x 2 +y 2 +xy) -1

ಲ.ಸಾ.ಅ =5(x-y)* 2*3*(x+y)*(x-y)*2(x 2 +y 2 +xy)

= 60*(x-y)(x+y)*(x-y)(x 2 +y 2 +xy) ( (x-y)(x 2 +y 2 +xy) ವು (a-b)( (a 2 +b 2 +ab) ರೂಪದಲ್ಲಿದೆ ಮತ್ತು a=x and b= y)

= 60*(x 2 -y 2 )* (x 3 -y 3 )

ತಾಳೆ:

x=3 , y=2 ಬೆಲೆ ಆದೇಶಿಸಿ ತಾಳೆನೋಡುವಾ

ಮ.ಸಾ.ಅ = 5(x-y) = 5*(3-2) = 5

ಲ.ಸಾ.ಅ = 60*(x 2 - y 2 )* (x 3 -y 3 )

= 60*(9-4)*)(27-8)

=60*5*19=5700

ಈಗ ಬೀಜೋಕ್ತಿಗಳು:

10(x 2 -y 2 ), 15(x 2 -2xy+y 2 ) 20(x 3 - y 3 ),5(-3x +3y)

10(3 2 -2 2 ), 15(3 2 -2*3*2+2 2 ), 20(3 3 - 2 3 ),5(-3*3 +3*2)

= {50, 15, 380, -15}

ಈ ಪದಗಳ ಮ.ಸಾ.ಅ =5

ಲ.ಸಾ.ಅ ಕಂಡು ಹಿಡಿಯಲು ಭಾಗಾಕಾರ ಮಾಡುವಾ.

5 | 50,15,380,-15

2 | 10,3,76,-3

3 | 5,3,38,-3

| 5,1,38,-1

ಲ.ಸಾ.ಅ = 5*2*3*5*38=5700 ಪರಿಹಾರ ಕಾರ್ಯ ಸರಿಯಾಗಿದೆ.

ಸಮಸ್ಯೆ 3 : ಯಾವ a ಮತ್ತು b ಬೆಲೆಗಳಿಗೆ ಕೆಳಗಿನ ಬೀಜೋಕ್ತಿಗಳಲ್ಲಿ

p(x) = (x 2 +3x+2) (x 2 +2x+a), q(x) = (x 2 +7x+12) (x 2 +7x+b)

(x+1)(x+3) ಅವುಗಳ ಮ.ಸಾ.ಅ ಆಗಿರುತ್ತದೆ.

ಪರಿಹಾರ:

(x 2 +3x+2) = (x+1)(x+2)

(x 2 +7x+12) = (x+4)(x+3)

p(x) = (x+1)(x+2)(x 2 +2x+a)

q(x) = (x+4)(x+3) (x 2 +7x+b)

ದತ್ತದಂತೆ (x+1)(x+3) p(x), ನ ಮ.ಸಾ.ಅ ಆಗಿರುವುದರಿಂದ

(x 2 +2x+a) ರ ಅಪವರ್ತನ (x+3) ಇರಲೇ ಬೇಕು

I.e. x=-3 ಎಂದು ಆದೇಶಿಸಿದಾಗ ಸಮೀಕರಣ (x 2 +2x+a) =0 ಆಗಲೇ ಬೇಕು

(-3) 2 +2(-3)+a =0

I.e. 9-6+a =0

a =-3

ದತ್ತದಂತೆ (x+1)(x+3) ರ ಮ.ಸಾ.ಅ q(x), ಆಗಿರುವುದರಿಂದ

(x 2 +7x+b) ರ ಅಪವರ್ತನ (x+1)

I.e. x=-1 ಎಂದು ಆದೇಶಿಸಿದಾಗ ಸಮೀಕರಣ (x 2 +7x+b) =0 ಆಗಲೇ ಬೇಕು

(-1) 2 +7(-1)+b =0

I.e. 1-7+b =0

b =6

ತಾಳೆ:

a ಮತ್ತು b ಯ ಬೆಲೆಗಳನ್ನು p(x) ಮತ್ತು q(x) ದಲ್ಲಿ ಆದೇಶಿಸಿದಾಗ,

p(x) = (x 2 +3x+2) (x 2 +2x-3) = (x+1) (x+2) (x+3) (x-1) { (x 2 +2x-3) = (x+3)(x-1)}

q(x) =(x 2 +7x+12) (x 2 +7x+6) = (x+4) (x+3) (x+1 ) (x+6) { (x 2 +7x+6)= (x+1)(x+6)}

p(x) ಮತ್ತು q(x) ರ ಅಪವರ್ತನಗಳನ್ನು ನೋಡಿದಾಗ p(x) ) ) ಮತ್ತು q(x) ರ ಮ.ಸಾ.ಅ (x+1) (x+3) ಆಗಿದೆ ಎಂದು ತಿಳಿಯಬಹುದು.

ಬಹುಪದಗಳ ಭಾಗಾಕಾರ ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ: ಭಾಜ್ಯ = (ಭಾಗಲಬ್ಧ*ಭಾಜಕ) + ಶೇಷ.

ಈ ಮೇಲಿನ ಸಂಬಂಧ ಬಹುಪದಗಳಿಗೂ ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತದೆ.

ಏಕಪದವನ್ನು ಏಕಪದದಿಂದ ಭಾಗಿಸುವುದು ಸಮಸ್ಯೆ 1: 12m 3 ನ್ನು 4 m 2 n ನಿಂದ ಭಾಗಿಸಿ.

ಪರಿಹಾರ:

ಹಂತ 1: 12m 3 n 5 / 4 m 2 n = (12/4)* (m 3 n 5 /m 2 n)

ಹಂತ 2: 12/4 = 3,

ಹಂತ 3:

m 3 n 5 / m 2 n = m 3-2 n 5-1 = m n 4

12m 3 n 5 /4 m 2 n = 3 m n 4

ತಾಳೆ:

(ಭಾಗಲಬ್ಧ*ಭಾಜಕ) + ಶೇಷ = 4 m 2 n*3 m n 4 +0 =12 m 2+1 n 1+4 =12m 3 n 5 - ಭಾಜ್ಯ

ಸಮಸ ್ಯೆ 2 : 57x 2 y 2 z 2 ನ್ನು 19xyz ನಿಂದ ಭಾಗಿಸಿ.

ಹಂತ 1 :

57x 2 y 2 z 2 /19xyz = (57/19) * (x 2 y 2 z 2 )/xyz

ಹಂತ 2:

57/19 =3

ಹಂತ 3:

x 2 y 2 z 2 /xyz = x 2-1 y 2-1 z 2-1 = xyz

57x 2 y 2 z 2 /19xyz = (57/19) * (x 2 y 2 z 2 )/xyz =3xyz

ತಾಳೆ:

(ಭಾಗಲಬ್ಧ*ಭಾಜಕ) + ಶೇಷ = (3xyz * 19xyz) +0 = (3*19)*xyz*xyz +0= 57x 1+1 y 1+1 z 1+1 +0=57x 2 y 2 z 2 - ಭಾಜ್ಯ

ಈ ಮೇಲಿನ ಸಮಸ್ಯೆಯಲ್ಲಿ ಗಮನಿಸಬೇಕಾದ ಅಂಶಗಳು:

3 ಎನ್ನುವುದು 57/19 ಅಂದರೆ ಏಕ ಪದಗಳ ಸಹಗುಣಕಗಳ ಭಾಗಲಬ್ಧ.

ಅದೇರೀತಿ xyz ಎಂಬುದು ಚರಾಕ್ಷರಗಳ ಭಾಗಲಬ್ಧ..

ಏಕಪದವನ್ನು ಏಕಪದದಿಂದ ಭಾಗಿಸುವಾಗ ಅನುಸರಿಸುವ ಹಂತಗಳು ಭಾಗಲಬ್ಧವು ಎರಡು ಭಾಗಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ - ಸಂಖ್ಯಾ ಸಹಗುಣಕ ಮತ್ತು ಚರಾಕ್ಷರಗಳು. ಇದನ್ನು ಪಡೆಯುವುದು ಹೇಗೆ?

1. ಎರಡು ಏಕಪದಗಳ ಭಾಗಲಬ್ಧದ ಸಹಗುಣಕವು ಆ ಎರಡು ಏಕಪದಗಳ ಸಂಖ್ಯಾ ಸಹಗುಣಕಗಳ ಭಾಗಲಬ್ಧಕ್ಕೆ ಸಮ.

2. ಎರಡು ಏಕಪದಗಳ ಭಾಗಲಬ್ಧದ ಚರಾಕ್ಷರ ಭಾಗವು ಆ ಎರಡು ಏಕಪದಗಳ ಚರಾಕ್ಷರಗಳ ಭಾಗಲಬ್ಧವೇ ಆಗಿರುತ್ತದೆ.

ಬಹ ುಪದವನ್ನು ಏಕಪದದಿಂದ ಭಾಗಿಸುವುದು (Division of a Polynomial by a Monomial):

ಸಮಸ ್ಯೆ 1: 402 3 m 2 n 2 -603 2 m 2 n -804 2 m 3 ಈ ಬೀಜೋಕ್ತಿಯನ್ನು (-201 2 m 2 ) ದಿಂದ ಭಾಗಿಸಿ.

ಪರಿಹಾರ:

402 3 = (2x201) 3 = (2) 3 x(201) 3 , 603 2 = (3x201) 2 = (3) 2 x(201) 2 , 804 2 = (4x201) 2 = (4) 2 x(201) 2

[402 3 m 2 n 2 -603 2 m 2 n -804 2 m 3 n 4 ]/(-201 2 m 2 )

=[(2) 3 *(201) 3 m 2 n 2 -(3) 2 *(201) 2 m 2 n -(4) 2 *(201) 2 m 3 n 4 ]/(-201 2 m 2 )

= -[ (2) 3 *(201) n 2 -(3) 2 * n -(4) 2 *m 1 n 4 ] = - (8*201* n 2 -9n -16mn 4 )

ತಾಳೆ:

ಭಾಜಕ* ಭಾಗಲಬ್ಧ + ಶೇಷ = (-201 2 m 2 )*[-(8*201* n 2 +9n +16mn 4 )]+0

= +(201 2 m 2 )*(8*201* n 2 -201 2 m 2 *9n -201 2 m 2 *16mn 4 ) +0

= 8*201 3 m 2 n 2 -9*201 2 m 2+2 n-16*201 2 m 2+1 n 4 )

= 2 3 * 201 3 m 2 n 2 - 3 2 *201 2 m 4 n-4 2 *201 2 m 3 n 4

= (2*201) 3 m 2 n 2 -(3*201) 2 m 2 n –(4*201) 2 m 3 n 4

= 402 3 m 2 n 2 - 603 2 m 2 n - 804 2 m 3 n 4

= ಭಾಜ್ಯ.

ಸಮಸ ್ಯೆ 2 : 2a 4 b 3 + 8a 2 b 2 ವನ್ನು 2ab ಯಿಂದ ಭಾಗಿಸಿ.

ಪರಿಹಾರ:

(2a 4 b 3 + 8a 2 b 2 )/2ab = (2a 4 b 3 /2ab) + (8a 2 b 2 / 2ab) = a 3 b 2 +4a b

ತಾಳೆ:

ಭಾಜಕ* ಭಾಗಲಬ್ಧ + ಶೇಷ = 2ab*(a 3 b 2 +4a b) +0= 2a 4 b 3 + 8a 2 b 2 = ಭಾಜ್ಯ

ಬಹುಪದವನ್ನು ಏಕಪದದಿಂದ ಭಾಗಿಸುವಾಗ ಅನುಸರಿಸುವ ಹಂತಗಳು 1. ಬಹುಪದದ ಪ್ರತೀ ಪದವನ್ನು ಏಕಪದದಿಂದ ಭಾಗಿಸಿ.

2. ಈ ರೀತಿ ಪಡೆದ ಭಾಗಲಬ್ಧಗಳನ್ನು ಒಟ್ಟಿಗೆ ಸೇರಿಸಿ.(ಸೂಕ್ತ ಚಿಹ್ನೆಯಿಂದ).

ಬಹುಪದವನ್ನು ದ್ವಿಪದದಿಂದ ಭಾಗಿಸುವುದು 1:ಮೊತ್ತ ಮೊದಲಿಗೆ 7+x 3 -6x (ತ್ರಿಪದ)ವನ್ನ ಒಂದು ದ್ವಿಪದ x+1 ರಿಂದ ಭಾಗಿಸುವಾ.

ಪರಿಹಾರ:

ಭಾಜ್ಯವು 3ನೇ ಘಾತದ ಬೀಜೋಕ್ತಿ, ಭಾಜಕವು 1ನೇ ಘಾತದ ದ್ವಿಪದ.

ಹಂತ

ವಿಧಾನ

1

ಭಾಜ್ಯ ಮತ್ತು ಭಾಜಕಗಳನ್ನು ಅವುಗಳ ಘಾತ ಸೂಚಿಯ ಇಳಿಕೆಯ ಕ್ರಮದಲ್ಲಿ ಬರೆಯಿರಿ.

2

ಯಾವುದೇ ಘಾತದ ಬೀಜ ಪದ ಇಲ್ಲದಿದ್ದರೆ ಸಹಗುಣಕ ‘0’ ಹಾಕಿ, ಬರೆಯಿರಿ

x 3 -6x+7 ನ್ನು (x 3 +0x 2 -6x+7) ಎಂದು ಬರೆಯಿರಿ.

3

ಭಾಜ್ಯದ ಮೊದಲ ಪದವನ್ನು ಭಾಜಕದ ಮೊದಲ ಪದದಿಂದ ಭಾಗಿಸಿ ( x 3 /x = x 2 ). ಆದ್ದರಿಂದ

x 2 ವು ಭಾಗಲಬ್ಧ ಮೊದಲನೇ ಪದ ಇದನ್ನು ಮೇಲ್ತುದಿಯಲ್ಲಿ ಬರೆಯಿರಿ.

4

ಭಾಜಕವನ್ನು ಭಾಗಲಬ್ಧ ಮೊದಲ ಪದ (x 2 ) ರಿಂದ ಗುಣಿಸಿ, ಭಾಜ್ಯದ ಕೆಳಗೆ ಬರೆಯಿರಿ (= x 3 + x 2 )

5

ಹಂತ 4 ರಲ್ಲಿ ಬಂದ ಉತ್ತರವನ್ನು ಭಾಜ್ಯದಿಂದ ಕಳೆಯಿರಿ.( x 3 +0x 2 ) – (x 3 + x 2 ) = - x 2

6

ಭಾಜ್ಯದ ಮುಂದಿನ ಪದವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಂಡು,(= -6x ) ಹಂತ 5ರ ಉತ್ತರದ ಮುಂದೆ ಬರೆಯಿರಿ. ಆಗ

-x 2 – 6x. ಇದು ಹೊಸ ಭಾಜ್ಯ.

7

ಹಂತ 3 ರಿಂದ 6 ರವರೆಗಿನದ್ದನ್ನು ಪುನರಾವರ್ತಿಸಿ, ಭಾಗಾಕಾರವನ್ನು ಮುಂದುವರಿಸಿ

8

ಶೇಷದ ಘಾತ ಸೂಚಿಯು ಭಾಜಕದ ಘಾತ ಸೂಚಿಗಿಂತ ಕಡಿಮೆಯಾದಾಗ ಭಾಗಾಕಾರ ಕ್ರಿಯೆ ನಿಲ್ಲಿಸಿ.

ತಾಳೆ:

ಭಾಜಕ* ಭಾಗಲಬ್ಧ + ಶೇಷ = (x+1)* (x 2 -x-5)+12

= x*(x 2 -x-5) +1*(x 2 -x-5)+12

= (x 3 -x 2 -5x)+ (x 2 -x-5)+12 = x 3 -x 2 + x 2 -5x-x -5+12

= x 3 -0x 2 -6x +7

= x 3 -6x +7 – ಇದು ದತ್ತ ಭಾಜ್ಯ.

ಸಮಸ ್ಯೆ 2: x 5 -9x 2 +12x-14 ದಿಂದ x -3 ಭಾಗಿಸಿ.

ಪರಿಹಾರ:

ಭಾಜ್ಯವು ಘಾತಾಂಶದ ಇಳಿಕೆಯ ಕ್ರಮದಲ್ಲಿಯೇ ಇದೆ. ಆದರೆ ಬಹುಪದದಲ್ಲಿ ಇಲ್ಲದ x ನ ಘಾತಾಂಕಗಳನ್ನು ಸೊನ್ನೆ ಸಹಗುಣಕ ಸೇರಿಸಿ ಬರೆಯಬೇಕು.

xಭಾಜ್ಯ: x 5 +0x 4 +0x 3 -9x 2 +12x-14.

ಭಾಜಕವು ಘಾತಾಂಕದ ಇಳಿಕೆಯ ಕ್ರಮದಲ್ಲಿಯೇ ಇದೆ.

- | x 5 -3x 4

- |3x 4 +0x 3

- |3x 4 -9x 3

- |9x 3 -9x 2

- |9x 3 -27x 2

- |18x 2 +12x

- |18x 2 -54x

- |66x-14

- |66x-198

184

ತಾಳೆ:

ಭಾಗಲಬ್ಧವನ್ನು ಭಾಜ್ಯದಿಂದ ಗುಣಿಸಿ, ಶೇಷವನ್ನು ಕೂಡಿಸಿ ತಾಳೆ ನೋಡಬಹುದು. ಆದರೆ ಬೀಜೋಕ್ತಿಯು ತುಂಬಾ ದೊಡ್ಡದಿರುವುದರಿಂದ, ತಾಳೆ ನೋಡಲು ಬೇರೆ ವಿಧಾನ ಬಳಸುವಾ.

x=2 ಆದಾಗ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ನೋಡುವಾ.

x=2 ಆದಾಗ,

ಭಾಜಕ =x 5 -9x 2 +12x-14 = 2 5 -9*2 2 +12*2-14

= 32-36+24-14

= 6

ಭಾಜಕ = x-3 =2-3 = -1

ಭಾಗಲಬ್ಧ =

= 2 4 +3*2 3 +9*2 2 +18*2+66

= 16+24+36+66=178

ಈಗ,

ಭಾಗಲಬ್ಧ*ಭಾಜಕ + ಶೇಷ = 178*-1+184

= -178+184

= 6 - ದತ್ತ ಭಾಜ್ಯ

ಸಮಸ್ಯೆ 3: ( 6p 3 -19p 2 -8p) ಯನ್ನು (p 2 -4p+2) ರಿಂದ ಭಾಗಿಸಿ.

ಪರಿಹಾರ:

6p+5

p 2 -4p+2

( -) |6p 3 -24p 2 +12p --à ---- (1) {= 6p*(p 2 -4p+2)}

(=) |+5 p 2 -20p --à -----(2) {ಸಮೀಕರಣ (1) ನ್ನು ಭಾಜ್ಯದಿಂದ ಕಳೆಯಿರಿ}

( -) | 5p 2 - 20p+10 --à -----(3) {= 5*(p 2 -4p+2)}

(=) -10 --à ಶೇಷ {ಸಮೀಕರಣ (3) ರಿಂದ (2)ನ್ನು ಕಳೆಯಿರಿ. }

ತಾಳೆ:

ಭಾಗಲಬ್ಧ*ಭಾಜಕ = (6p+5)* (p 2 -4p+2)

= 6p* p 2 +6p*-4p+6p*2+5* p 2 +5*-4p+5*2

= 6p 3 -24p 2 +12p+5p 2 -20p+10

= 6p 3 -19p 2 -8p+10

ಭಾಗಲಬ್ಧ*ಭಾಜಕ + ಶೇಷ = (6p 3 -19p 2 -8p+10)-10

= 6p 3 -19p 2 -8p - ದತ್ತ ಭಾಜ್ಯ

ಸಮಸ್ಯೆ 4: a 5 +b 5 ನ್ನು (a+b) ಯಿಂದ ಭಾಗಿಸಿ.

ಪರಿಹಾರ:

a+b

(-) |a 5 + a 4 b

(=) - a 4 b+0

(-) |a 4 b-a 3 b 2

(=) a 3 b 2 +0

(-) | a 3 b 2 + a 2 b 3

(=) - a 2 b 3 +0

(-) | - a 2 b 3 -ab 4

(=) ab 4 + b 5

(-) |ab 4 + b 5

(=) 0

ಅಭ್ಯಾಸ: ಭಾಜಕ*ಭಾಗಲಬ್ಧ+ಶೇಷ = ಭಾಜ್ಯ ಆಗುವುದೋ ಎಂದು ನೋಡಿ.

ಮೂಲ : ಫ್ರೀ ಗಣಿತ